矩形纸片的折叠问题

徐竹芬

[摘 要] 问题起源于课本，但又高于课本，只有有价值的问题，才能深入挖掘数学的本质，才能提升学生的思维能力. 本文以图形与几何中的矩形纸片折叠问题为教学核心，根据“情境——问题”基本教学模式，进行问题解决策略的研究.

[关键词] 问题；折叠；思维

美国数学家哈尔莫斯认为“问题是数学的心脏”，“学起于思，思源于疑”，有疑虑才能产生认知冲突，才能激发认知需求. 因此，教学中教师应设法创设问题情境，使学生不断产生“情理之中，意料之外”“似乎已经知道，实际还不够清楚”的心境，让学生在不断尝试中主动学习、研究，进而解决问题、优化课堂教学.

下面是我在九年级复习课教学中，根据“情境—问题”基本教学模式进行的教学尝试.

教学缘由

矩形纸片折叠问题的教学，就是解决将矩形纸片按照某种要求进行折叠的操作活动所产生的数学问题. 七年级时，学生已遇到过与折叠相关的问题，有解决折叠问题的初步经验，在八年级上学期学习图形的轴对称变换知识、勾股定理时也常常碰到矩形的折叠问题，不过随着知识的深化，问题趋于复杂化，折叠形成的问题较为抽象，需一定的空间想象能力，而这方面的能力是学生较为欠缺的，故学生遇到这类折叠问题时，往往一片茫然，不知从何下手.

本课时的教学目的：（1）通过折叠，提出问题，解决问题，让学生对矩形的折叠问题有更系统的认识，掌握解决策略. （2）在学习过程中培养学生的探究、归纳能力.

教学设计思路：在教师的引导下，以学生自主探究为主，通过探究呈现各种情况，逐步提出问题和解决问题，最终让学生带着新问题课后继续探究.

教学过程

师： 我们经常会碰到矩形纸片的折叠问题，今天就让我们一起来好好认识它，看看它如何变身，且在不同的外表下又有怎样的共同点. 折叠问题会让我们产生众多的数学思考，继而提出一些数学问题.

【引导提问】 现有一张矩形纸片ABCD（如图1），其中AB=4 cm，BC=6 cm，点E是BC的中点. 将矩形纸片沿直线AE对折，使点B落在梯形AECD内，记为点B′，试求B′，C两点之间的距离.

学生分析：折叠会产生轴对称图形，故有△ABE≌△AB′E，又点E是BC的中点，则有BE=B′E=CE，可得△BB′C为直角三角形. 故要求B′C，只要求出BB′即可. 又由折叠可知AE垂直平分BB′，于是问题可解决.

师：刚才老师提的问题是折叠一个三角形，折叠后B′在矩形内部，同学们，你能提出什么问题？（学生折叠、思考、找题、编题，教师巡视指导）

【学生提问1】 折叠的还是一个三角形，但折叠后顶点在矩形边上，如图2，在矩形ABCD中，已知AB=6 cm，BC=10 cm，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE，你有哪些结论？

【学生提问2】 折叠后顶点在矩形外，如图3，在矩形纸片ABCD中，AD=8，AB=4，将矩形沿直线BD折叠，你有哪些结论？

【学生提问3】折叠的不是三角形，而是一个四边形，一个顶点落在矩形内，如图4，情况会如何？

【学生提问4】折叠的不是三角形，而是一个四边形，一个顶点在矩形边上且不在顶点处，我以前碰到过一题：如图5，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°.

（1）求BE，QF的长；

（2）求四边形PEFH的面积.

【学生提问5】如图6，一张矩形纸片ABCD的长AD=10 cm，宽AB=4 cm. 现将其折叠，使点D与点B重合，求BE的长.

【学生提问6】我们还折出两点均在矩形外，如图7，情况又会怎样？

【问题解决】

师：大家都很厉害，通过折纸，以前做过的题，自己编，找到了不少类型，下面我们来解决所提出的问题.

师：对于提问1，你们有哪些結论呢？

生1：△ADE≌△AFE，△CEF∽△BFA.

生2：AF=AD=10，能求出BF=8，CF=2，DE=EF，由勾股定理可求出EF，CE的长.

师：很好，从三角形的特殊关系，求出了边的长度. 那对于提问2呢？

生3：同样有全等和相似，△ABD≌△EBD，△BEF∽△DCF.

生4：△BDF为等腰三角形，△BEF≌△DCF.

师：那对于线段你有何结论？

生5：BF=DF，可设DF=x，则BF=x，CF=8-x，由勾股定理可以求得x=5，图中的线段都能求出，能知道图形的面积和周长.

师：那对于图4，谁能提出一个问题？（生沉默）

师：你在这图形中有哪些结论呢？

生6：只看到四边形CDEF与四边形C′D′EF全等.

师：若∠EFB=55°，则∠AED′等于多少度？

生7：70°，由平行以及轴对称可得.

师：下面我们一起来看图5，除了折叠后形成的两个直角三角形相似外，因为位于特殊位置，也就出现了一些特殊情况.

生8：在这幅图中有重要结论：△BPE∽△AHP∽△QHF，且△BPE，△AHP和△QHF都是含有30°角的直角三角形，由折叠知，PE=EC，PQ=CD，即可求得.

师：对于提问5，我相信大家都没有问题，对于图6，你还有什么结论，或者有想问的吗？

生9：△ABE≌△C′BF，可求得线段AE，DE，BE，BF，FC，C′F，图中还有线段EF，EF的长还没求得.

生10：可过点E作EH垂直BC于点H，构造直角三角形.

师：老师还看到图中ED=BE=BF，连结DF，四边形DEBF是菱形，你能说理吗？

生齐答：能.

师：大家刚才都很棒，都善于观察，找到了几个有关矩形折叠的图形，图7就交给大家课后再研究，看看这图形中有没有特殊结论，能否编个题. 另外，在折叠中，还有其他图形，如图8，折叠矩形纸片ABCD，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG. 你能解决这个问题，并设计其他问题吗？让我们继续探究.

师：在解决折叠问题时，应以轴对称图形的性质作为切入点，找出由折叠而产生的相等的线段和角，再设法把条件和结论集中到某个直角三角形中，应用勾股定理等知识解直角三角形，求得问题的解决，这是解决这类问题的通法通则.

教学反思

本节课中，贯穿“情境—问题”的教学模式，创设情境—提出问题—解决问题，做到了由浅入深，层层推进，教师始终在引导，给学生足够的思考时间与空间，使学生的思维得到发展，能力得以提升.

问题源于课本，却又高于课本，它促进学生的思考不断深入、层层推进，为学生指明探究的方向，具有很强的指导意义，利于激发学生的问题意识.

对于本节课，教师引导学生通过动手折叠让学生得出折叠的图形有三角形和四边形之分，折叠后其顶点所落的位置不同，于是得到各个图形，并在各图形中添加条件，提出问题，并解决问题. 课堂中，教师应引导学生关注折叠所产生的相等的线段和角，应用勾股定理、相似三角形等知识解决此类问题. 上述整节课以学生为主体，重视学生的归纳推理能力和逻辑思维能力的培养，以提高学生的综合解题能力.

学生提问的质量取决于学生的基础及思维层次，具有不可控性，这样的课堂是动态生成的，故教师要更认真地做好课前准备，课前预设，精心挑选问题，对重点的问题要讲解到位，要逐步拓宽和加深，要舍得花时间，不能匆匆而过. 折叠问题比较抽象，课堂上应恰当辅助多媒体教学，以提高课堂效率.

教师的教学设计就是对教材的再次开发，教材是教学资源，但不是唯一的教学资源. 教师要在教学设计时对诸多教学资源做到心中有数、为我所用. 探究的过程就是一个教学建模的过程. 在此过程中，学生的兴趣能得到培养，应用能力能得到提高. 不过这也会给普通学生的学习带来一定的难度，可能不利于面向全体学生，为避免这些问题，教师应在问题引导及设计上注意层次性.