函数图象中动点与面积问题典例分析

李春蓉　邓云峰

动态问题是指以图形为背景，融入运动变化观点的一类问题，主要研究的是图形在运动中所遵循的规律，具体研究的是图形中的位置、数量关系。就运动对象而言，通常可分为三种类型：点动问题、线动问题、面动问题。本文就点动问题中“关于函数图象中动点与面积的最值问题”进行典例分析，希望能对同学们学习这类知识有所启发和帮助。

典例分析

例1：如图（1），直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上的任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D.

求：当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

方法四：

①如图（6），要使△PCB面积最大，须使动点P到定直线BC的距离最远，过动点P作BC的平行线y=-x+b，当直线y=-x+b与抛物线只有一个公共点时，即为最远。

②求出此时P点的坐标；

③求出两平行线间距离；

④利用公式求△PCB的面积S.

变式练习

在例2中，当点P运动到何处时，四边形ABCP的面积最大？

分析：四边形ABCP的面积等于例2中△PCB的面积+定值△ABC的面积。

小结

综上所述，我们在解决函数图象中动点与面积这类问题时，可以遵循以下的基本方法进行：

1.利用函数解析式表示动点坐标；

2.利用坐标表示线段的长度；

3.构建关于面积的函数关系式；

4.利用函数求最值的方法求面积的最值。

以上动态问题的解决不管采用哪种方法，都是根据具体情况先构建函数模型，再具体处理问题的。同学们在学习过程中要注重数学基础模型的建立，多提炼解题方法的规律，才能达到举一反三的目的，数学解题能力才会得到提高。