在解题教学中培养数学思维能力

曹洁

摘要：以一道高考题为例，揭示了如何在解题教学中渗透数学思维的培养，从而提高数学解题能力。对高中解题教学及高考试题研究有一定的参考价值。

关键词：数学思维能力；数学的思维方式；内在规律

中图分类号：G718.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）50-0157-02

怎样才能学得好数学呢？数学科学的最显著的特点是它提供了有特色的思考方式，训练人们清晰思维的智力，因此学好数学的正确途径是按照数学的思维方式来学习数学。数学的思维方式是由“观察—抽象—探索—猜测—论证”这五个环节构成的。即观察客观现象，抓住主要特征，抽象出概念或建立模型；运用直觉、类比、归纳、联想、推理等进行探索，猜测可能有的规律；然后进行深入分析、逻辑推理和计算，揭示事物的内在规律。数学科的高考在考查基础知识的同时，注重考查能力。能力要求包括思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识，其中思维能力是核心。数学思维能力就是按照数学的思维方式去思考、分析和解决问题的能力。

下面结合2012年全国新课标数学卷第16题，谈谈如何在解题教学中培养学生的数学思维能力。

观察视角1：从函数视角进行观察

观察“an+1+（-1）nan=2n-1”，你如何表述这个条件呢？

an+1+（-1）nan=2n-1等价于an+1=（-1）n+1

an+2n-1，an+1是an的函数，则a2可以用a1表示，a3可以用a2表示，所以a3也可以用a1表示，所以这个数列的每一项都可以用a1表示：a2=a1+1，a3=-a2+3=-a1-1+3=-a1+2，a4=

a3+5=a1+2+5=-a1+7

以此类推，写出这个数列的前60项根本不成问题。至少有以下两种方法来观察。

方法1：因为这是一个填空题，除了条件式外，没有提供任何表示常数的字母，问的却是前60项和，结果应该是一个数字，当给这个数列的a1赋不同的值，结果都是一样的，所以我们不妨让a1=1，于是得到左边的式子。

对左边式子进行观察，可能有两种方式：

解法1 观察全部

可以一直写下去，直到写完60项，然后把这些项加起来，得到问题的答案，这不失为一种好方法，因为这种方法一定能够在有限的时间内得到问题的正确答案，最起码比为了找到一种好方法，最终得不到正确答案好。

解法2 观察部分，应用合情推理

观察到奇数项都是1，偶数项是2，6，10，14，猜想奇数项是常数列1，1，1…，偶数项是首项为2，公差为4的等差数列，因为是填空题不需论证，分别用等差数列的前n项和公式求解如下：a1+a2+…+a60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a60）=30+30×2+■×4=1830

方法2：设a1=a

不知道这个数列的a1，但是我们可以假定知道，设a1=a。（对于教师来说，用a1和a只有形式上的区别，但是对于学生来说，把a1=a写成a1=a会有不同的作用，尤其在学生认知水平较低时。）

观察2-1 观察所有项

解法3：与观察1-1-1类似，全部写出来，再相加得到结果。

观察2-2 观察奇数项、偶数项特征，应用合情推理

解法4：观察到奇数项中，猜想出奇数项和为30，观察到偶数项中a6+a8=（a2+a4）+16，再验证a10+a12=（a8+a10）+16，猜想a2+a4，a6+a8，a10+a12…构成首项为8，公差为16的等差数列，偶数项的和为8，从而前60项的和为15×10+■×16=1830.

观察2-3 片段和的特征，应用合情推理

解法5：观察到a1+a2+a3+a4=10，a5+a6+a7+a8=26，再验证a9+a10+a11+a12=42，猜想a1+a2+a3+a4，a5+a6+a7+a8，a9+a10+a11+a12，…构成以10为首项，16为公差的等比数列，则前60项的和为15×10+■×16=1830。

以上都是从函数y=f（x），的视角来观察an+1+（-1）nan=2n-

1，这个条件，分设首项为数字、设首项为字母观察，用完全归纳的方法或者不完全归纳方法得到问题的结果。要说明的是，完全归纳法，虽然笨拙，但是结果可靠；不完全归纳法虽然简洁些，但是在逻辑上不完整，可能产生漏洞甚至是错误。设首项为1，和设首项为a也是存在差异的，设首项为1时，我们看到奇数项构成的是常数列，设首项为a，奇数项构成的是摆动数列。我们可以认为解法3、4是解法1、2的抽象。解法1、3是对问题的论证，解法2、4、5是对问题的猜想。而解法1～5都算是我们对问题的探究。

观察视角2：叠加法的视角

用叠加法求等差数列通项公式的方法，是我们比较熟悉的。为了方便学生理解，复习以下的内容是必要的。

观察左边的式子，注意以下两个特征：

特征一：等号左边是“差”的形式，等号右边还得是我们能够求和的对象。

特征二：等号左边的式子相加可以抵消项部分项。

而本题所给的条件，有时候是差的形式，有时候是和的形式，要由n的奇偶来决定。

观察2-1？摇观察等号左边是差的情形，累加

解法6：

a2n+1+a2n=4n-1a2n-a2n-1=4n-3

得a2n-1+a2n+1=2，n=1，2，3…

a1+a3+…+a59=（a1+a3）+（a5+a7）+…+（a7+a59）=30

a1+a2+…+a60=[（a2+a4+…+a60）-（a1+a3+…+a59）]+2（a1+a3+…+a59）=1770+60=1830

等号左边是差，得到的是“偶数项的和”与“奇数项的和”的差，那么如果等号左边是和的形式呢？

观察2-2？摇观察等号左边是和的情形，累加

解法7：

可以证明a61=a1，则1830即为所求。

以上是将an+1+（-1）nan=2n-1具体化，从叠加法的视角进行的观察与分析，解法6在满足“等号左边是差”这个条件下累加；解法7是满足“等号左边全是和”条件下累加；解法8是满足“等号左边相加抵消部分项”条件下的累加。虽然都使得问题得到了某种程度的简化，但是并不能立刻得到问题的正确结果，相当于把原问题化归为两个子问题来解决。

观察视角3：方程视角

如果用n+1代替an+1+（-1）nan=2n-1的n，则可得到

an+2+（-1）n+1an+1=2n+1

把它们联立an+1+（-1）nan=2n-1an+2+（-1）n+1=2n+1，这是关于an，an+1，an+2这三个未知量的方程组，虽然解不出每一个值，但是我们可以通过消元，减少一个量。

观察3-1？摇观察特例，应用合情推理

解法9：

a3+a4=3a2-a1=1？圯a1+a3=2 a4-a3=5a3+a2=3？圯a2+a4=8

a7+a6=11a6-a5=9？圯a5+a7=2 a8-a7=13a7+a6=11？圯a6+a8=24

a11+a10=19a10-a9=17？圯a9+a11=2 a12-a11=21a11+a10=19？圯a10+a12=40

后同解法4。

观察3-2 观察特例的连续四项和，应用合情推理

解法10：

a3+a2=3a2-a1=1？圯a1+a3=2，a4-a3=5a3+a2=3？圯a2+a4=8？圯a1+a3+a2+a4=10

a7+a6=11a6-a5=9？圯a5+a7=2，a8-a7=13a7+a6=11？圯a6+a8=24？圯a5+a6+a7+a8=26

a11+a10=19a10-a9=17？圯a9+a11=2，a12-a11=21a11+a10=19？圯a10+a12=40？圯a5+a6+a7+a8=42

后同解法5。

综上，我们分别从函数、叠加法、方程的角度对an+1+（-1）nan=2n-1进行了观察分析，也就是说我们从基本概念（如函数）、基本方法（叠加法）、基本数学思想（方程）的视角对条件进行了观察分析，如果没有掌握好基本概念、基本方法、基本数学思想，以上的分析都只能是空中楼阁，所以一定要掌握理论。在平时做题的过程中，我们往往希望快速的找到方法，我们会喜欢以上三种视角的第二种视角：基本方法。如果能用基本方法直接解决的问题，我们可以认为所解决的不是一个“问题”，只是对已经掌握的知识的重现而已。对我们来说，“问题”应该是这样的，我们可以使用基本方法对其变形，但是却不能立刻得到解决，换句话说就是，我们好像能做出来，但是却看不清如何做出来，这样的问题才符合我们对“问题”的正确认识。我们也看到，视角2——基本方法视角，是将一个问题转化成了两个子问题，其中有一个子问题得到了解决，而另外一个问题的解决，还是需要从视角1或视角3来观察分析的。本文所做的分析，是在解题之后进行的分析，这有助于我们分辨解决问题中，从不同视角所看到的情形，有助于我们加深对数学思维方式各环节的认识，重视数学思维中观察、抽象、探究、猜测、论证这五个环节。

参考文献：

[1]丘维声.高考考你什么 专家解读高考命题 数学[M].当代中国出版社，北京，2008，（12）.

[2]余建新，叶勇贵，陈尧明，等.2012年高考：数学试题及解法赏析[J].中学数学教学参考，2012，（7）.