利用导数解决圆锥曲线中的切线问题

陈建参

摘 要： 文章认为，根据圆锥曲线特别是抛物线的全部或局部函数性，利用导数求导的方法，可以顺利解决圆锥曲线中的切线问题.

关键词： 圆锥切线 函数性 导数 切线斜率

圆锥曲线问题与导数的工具性的交叉渗透，很自然地做了一个知识点和能力上的交汇整合.在2012年的高考题中，总体的体现是题型新颖，难度跨度增大，特别是对考生的运算求解能力的要求提高，但如果能利用好导数，则可以使解题变得简捷巧妙.

【点评】化抛物线方程为函数形式，根据曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键.

（I）求抛物线E的方程；

（II）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.

【点评】本题考查的知识点为圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，以及定值的证明，关键是把抛物线方程化为函数形式，利用导数的几何意义求解.

【点评】开口向左或向右的抛物线方程不是函数形式，但如果只取轴的上方或下方部分，就是函数关系了，利用导数就可以解决相应切线问题.

【点评】该试题出题的角度不同寻常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，是该试题的创新之处.另外，在第二问中难度加大了，出现了另外两条公共的切线，这样的问题在我们以后的学习中也是需要练习的.

利用导数求解圆锥曲线的切线问题，关键在于设切点求斜率，把解析几何和导数的工具性结合起来，作为一种思维方式，体现了数学的简捷、实用和综合性.