揭密函数、导数和不等式命题特点

许少华

函数、导数、不等式是一个古老而始终焕发“青春”且极富“朝气”的高中数学内容. 在过往的历次高考中它给无数“前辈们”留下了永恒的兴奋.当然，也带给了无数“前辈们”终生遗憾. 现在你要面对它了，它将留给你的是什么？无论结果如何，奋斗是必须的. 因为奋斗，可能成功；不奋斗，一定不成功.那么，就让我们一起来关注函数、导数、不等式的命题特点吧！

1. 立足基本概念，围绕某一知识点设计试题.

函数、导数涉及很多基本概念，立足基本概念，围绕某一知识点或某几个知识点设计试题是常规命题方式之一，此类题综合性不强，但不一定是简单题，往往求解有较大的灵活性.

例1 某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）

A. y=[] B. y=[]

C. y=[] D. y=[]

解析一 设x=10m+a（0≤a≤9），

当0≤a≤6时，=m+=m=[]；

当6≤a≤9时，=m+=m+1=[]+1，所以选B.

解析二 特殊取值法，若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6排除A，所以选B.

点评 本题考查考生处理问题的灵活性及思维的严谨性，可以看出用特殊值法既方便快捷又准确无误.那么，这个特殊值是怎么想起来的呢？从“余数大于6”，显然，“6”是分水岭，抓住这个之后，不难看出：26与27，36与37等都可以. 当然，设x=10m+a之后，对a的分类点也就自然诞生了.

例2 设函数f（x）=（a<0）的定义域为D，若所有点（s，f（t））（s，t∈D） 构成一个正方形区域，则a的值为（ ）

A. -2 B. -4 C. -8 D.不能确定

解析：由|x1-x2|=fmax（x）， =， |a| =2，a=-4，选B.

点评 本题的实质是定义域对应的区间长度与值域对应的区间长度相等.认识到此，求解也就变得易如反掌.

2. 立足基本图形，围绕基本性质设计试题.

图形是函数、导数中的重要特征内容之一，立足基本图形，围绕性质设计试题也是十分常见的，这些题在求解时，不一定都必须画图，但“脑屏”中一定要有图形.借助这些画出的或未画出的图形促使问题获解.

例3 已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，f'（x）+>0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 0 D. 0或 2

解析 由f′（x）+>0？圯>0？圯>0，

当时x<0，[xf（x）]′<0， 即x∈（-∞，0）时，函数xf（x）为减函数；

当x>0时，[xf（x）]′>0，即x∈（0，+∞）时，函数xf（x）为增函数.

设h（x）=xf（x），得hmin（x）=h（0）=0，于是，当x≠0时，xf（x）>0.

由于g（x）=f（x）+=0？圯xf（x）=-2，由上述可知xf（x）>0，所以xf（x）=-2无解，故函数f（x）+=0的零点个数为0.

点评 本题立足函数的大致图形，通过导数产生函数的图象性质，结合性质促使问题获解.由于本题两个函数式都比较特别，对已知进行变形、转化是求解的关键.

例4 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数， 并满足f（x-4）=-f（x）且在[0，2]上是增函数，给出下列结论： （1）若00； （2）若0f（x2）；（3）若方程f（x）=m在[-8，8]内恰有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=±8.其中结论正确的有（ ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3 个

解析 ∵ f（x-4）=-f（x）， ∴ f（x-8）=-f（x-4）=f（x）， ∴ f（x）的周期为8.

∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴ f（x）关于原点对称.

∵ f（x-4）=-f（x），∴ f（x-4）=f（-x），∴ f（x） 关于x=-2对称. 由f（x） 关于原点对称，f（x）又关于x=2对称.

由f（x） 在[0，2]上是增函数，且 f（0）= f（4）=0，所以可以画出草图为：

（1）若00，f（x2）>0，所以 f（x1）+ f（x2）>0，故（1）正确.

（2）0f（x2）， 故（2）正确.

（3）如图所示，若m>0，则两个根关于x=-6对称，两个根关于x=2对称，所以有x1+x2+x3+x4=-8.若m<0，则两个根关于x=-2对称，两个根关于x=6对称，所以有x1+x2+x3+x4=8，故（3）也正确.本题答案为D.

点评 从f（x-4）=-f（x） 着手找其中的对称性，周期性和单调性，并画草图分析. 在近几年的高考试卷中，都能找到与本题类似的题型，这些类型题目需要我们通过一些代数恒等变换得到一些常用的结论，并加以灵活运用，但是如果我们能在图形的基础上进行分析，那就会有事半功倍.

3. 立足导数概念、几何意义，围绕极值、最值设计试题.

设计含参数的函数，结合导数的基本概念、几何意义等产生参数的值，然后再结合具体函数，求其极值、最值或是利用极值与最值产生另外的基本问题等是一类较为常见试题.此类题难度中等，正确的求出参数的值是关键.

例5 函数y=lnx关于直线x=1对称的函数为f（x），又函数y=ax2+l（a>0）的导函数为 g（x），记h（x）=f（x）+g（x）.

（1）设曲线y=h（x）在点（1，h（1））处的切线为l，若l与圆（x+1）2+y2=1相切，求a的值；

（2）求函数h（x）的单调区间；

（3）求函数h（x）在[0，1]上的最大值.

解析 （1）由题意得 f（x）=ln（2-x），g（x）=ax，∴ h（x）=ln（2-x）+ax.

∴ h′（x）=a+，过（1，h（1））点的直线的斜率为a-1，

∴ 过（1，h（1））点的直线方程为y-a=（a-1）（x-1）.

又已知圆心为（-1，0），半径为1，由题意得=1？圯a=1.

（2）由 h′（x）==a[x-（2-）]·，函数定义域为（-∞，2）. ∵ a>0，∴ 2-<2.

令 h′（x）>0，解得x<2-；令 h′（x）<0，解得2-

所以，（-∞，2-）是h（x）的增区间，（2-，2）是h（x）的减区间.

（3）①当2-≤0，即0

②当0

∴ 当a=2-时，h（x）的最大值h（2-）=2a-1-lna.

③当2-≥1，即a≥1时，h（x）在[0，1]是增函数， ∴ h（x）的最大值h（1）=a.

综上，hmax（x）=ln2， （0

点评 本题是导数、函数结合的基本试题，难度较小，考查的知识点较为全面，从导数的几何意义、直线与圆的位置关系、单调区间及最值等应有尽有.只要考生拥有常规技能与熟练的基础知识都能顺利完成求解.

4. 立足导数在函数中的应用，围绕范围、恒成立等设计试题.

立足导数在函数中的应用，围绕范围、恒成立等设计试题.此类题往往既具有函数的抽象性，又具有不等式的灵活性，还具有最值的应用性.一般来说难度都比较大，突破此类题的常规作法是，首先借助导数分析函数性质；然后利用函数性质及不等式的性质转化为常规问题；最后完成求解，其中转化问题是关键.

例6 已知函数 f（x）=x++b（x≠0），其中a，b∈R. 若对于任意的a∈，2，不等式f（x）≤10在x∈，1时恒成立，求b的取值范围.

解析 由 f′（x）=1-=，易得f（x）在[，+∞]内是增函数，在（0，）内是减函数.

（1）若a≥1，则f（x）在，1上是减函数，此时，fmax（x）=f（）=+4a+b，由f（x）≤10在x∈，1时恒成立，得+4a+b≤10？圯b≤-4a恒成立，由于a∈，2，得b≤.

（2）若≤a<1，则f（x）在（，）上是减函数，在（，1）内是增函数，于是，f（x）在，1上的最大值为f与f（1）中的较大者，不等式f（x）≤10在，1上恒成立，当且仅当f≤10，f（1）≤10， 即b≤-4a，b≤9-a恒成立，对于任意的a∈，2，得b≤，b≤7，从而得b≤.

由（1） （2）得满足条件的b的取值范围是（-∞，].

点评 本题求解时，牢牢的抓住“f（x）≤10在x∈，1时恒成立”，就是f（x）在x∈，1时的最小值不大于10.从这个角度出发讨论函数的单调性、分析最值点，最终首先结论.

5. 立足导数及函数性质的应用，围绕不等关系设计试题.

不等，是社会的特点，更是数学的特点.看看一套数学试卷，用不等号连结的内容所占的比例你什么都清楚了.立足导数及函数性质的应用，设计不等关系的问题十分普遍，此类题的求解，既要注重导数与函数的性质，还必须注重基本不等式.

例7 设x1、x2（x1≠x2）是函数 f（x）=ax3+bx2-a2x（a>0）的两个极值点.

（1）若|x1|+|x2|=2，求b的最大值.

（2）若x1

解析 （1）由 f′（x）=3ax2+2bx-a2， ∵ x1，x2是函数 f（x）的两个极值点， ∴ x1，x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根.于是x1+x2=-， x1·x2=-.

∵a>0， ∴ x1·x2<0.

∴|x1|+|x2|=|x1-x2|===2？圯b2=3a2（6-a）.

∵b2≥0， ∴3a2（6-a）≥0， ∴ 00， ∴ h（a）在（0，4）内是增函数；当4

（2）∵x1，x2是方程f′（x）=0的两根，∴f′（x）=3a（x-x1）（x-x2），

∴|g（x）|=3a|x-x1|·|x-x2-|≤3a（）2.

∵ x10， x-x2<0，

∴ |g（x）|≤[（x-x1）-（x-x2-）]2=（x2-x1+）2.

∵x1·x2=-， x2=a， ∴ x1=-. ∴ |g（x）|≤（a++）2=a（3a+2）2.

点评 本题的第一问将函数、方程、导数、最值等融为一体，难度不大，但也有一定的灵活性；第二问利用基本不等式，再结合条件产生结论.两问完美结合，奏出了基础知识科学而合理交汇的美丽的乐章.

6. 立足实际应用，围绕社会热点设计试题.

学习知识的目的在于应用，在于创造价值.立足实际应用，围绕社会热点设计试题是近年高考命题的一大特点.函数、不等式的应用性是其它章节知识难以比拟，因此，与工业的产销、房地产等有关的热点问题值得我们关注.

例8 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品.根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：

P=，（1≤x≤c， x∈N）. （x>c， x∈N） （其中c为小于96的正常数）

注：次品率P=，如P=0.1表示每生产10件产品，约有1件为次品.其余为合格品.

已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量.

（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

解析 （1）当x>c时，P=，所以每天的盈利额T=xA-x·=0；

当1≤x≤c时，每日生产的合格仪器约有（1-）x件，次品约有（）x件，故每天的盈利额T=（1-）xA-x·=[x-]A.

综上，T与x的函数关系为：

T=[x-]A， 1≤x≤c0. x>c

（2）由（1）知，当x>c时，每天的盈利额为0.

当1≤x≤c时，T=[x-]A. 令96-x=t，则0<96-c≤t≤95，

那么T=[96-t-]A=（97-t-）A≤ （97-2）A=A.

当且仅当t=，即t=12（x=88）时， 等号成立.

所以（i）当c≥88时，Tmax=A（等号当且仅当x=88时成立）.

（ii）当1≤c<88时，由1≤x≤c得12<96-c≤t≤95，

因为g′（t）=1-当t∈（12，+∞）时，有g′（t）>0，所以函数g（t）=t+在t∈（12，+∞） 上单调递增. 得g（t）>g（96-c）.

于是T=（97-t-）A≤[97-（96-c）-]A=（）A，

即Tmax=（）A，等号当且仅当x=c时取得.

综上，若88≤c<96，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若1≤c<88，则当日产量为c时，可获得最大利润.

点评 分段函数是历年高考的热门话题，常考常新是其命题特点.本题的第二问是很多考生都会出错的.也许产生了x=88后就万事大吉了，其实不然.

7. 立足函数、导数、不等式，围绕综合应用设计试题.

近年高考压轴题以导数、函数、不等式的综合试题为主导，这些试题的共性是基础性与技能性兼备，既考查考生基础知识的全面与熟练程度，又考查考生综合应用知识与技能的能力.试题难度较大，也许很多考生可以得分，但百分之九十以上的都无法得满分.

例9 设f（x）=（x>0），

（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式ln （1+x）

（Ⅲ）： 求证（1+）n

解析 （1）∵ f（x）=（x>0）， ∴ f′（x）=.

设 g（x）=-ln（1+x） （x≥0），∴ g′（x）=-=≤0，

∴ y=g（x）在[0，+∞）上为减函数. 那么g（x）=-ln（1+x）≤g（0）=0，

得f′（x）=<0， ∴函数 f（x）=在（0，+∞）上为减函数.

（2）ln（1+x）

若a≥1，则x∈[0，+∞）时，h′（x）=-a≤0恒成立，∴ h（x）=ln（1+x）-ax在[0，+∞）上为减函数，∴ ln（1+x）-ax

若a≤0显然不满足条件.

若00，不能使ln（1+x）

于是，不等式ln（1+x）

（3）由（2）可知a≥1时，ln（1+x）

点评 本题有一定的难度，第一问都不是轻而易举可以得分的；第二问建立在分类讨论的基础上，对结论的成立情况进行分析、探索；第三问实际上是第二问的一个特例，问题是你能不能顺利应用？从取特殊值a=1，再到取x=不算是“羊肠小道”，也够曲折的了.

8. 立足试题创新，围绕“新知识”的应用设计试题.

创新是高考命题的主旋律，为了背景公平、为了真正考查考生吸取知识与应用知识的能力，创新试题的设计是每位命题人的“必修课”.由于导数、函数、不等式内容的特殊性及结合的完美性，使得它成了创新试题的重要“基地”之一.

例10 在R上定义运算？塥：p？塥q=-（p-c）（q-b）+4bc（b，c为实常数）.记f（x1）=x2-2c， f（x2）=x-2b，x∈R，令f（x）= f（x1）？塥f（x2）.

（1）如果函数f（x）在x=1处有极值-，试确定b，c的值；

（2）求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；

（3）记g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M. 若M≥k对任意的b，c恒成立，试求k的最大值.

解析 由 f（x）= f（x1）？塥 f（x2）=-（x2-3c）（x-3b）+4bc=-x3+bx2+cx+bc，得 f′（x）=-x2+2bx+c.

（1）由题意得f′（1）=-1+2b+c=0，f（1）=-+b+c+bc=-？圯b=1，c=-1或b=-1，c=3.

当b=1，c=-1时，f′（x）=-x2+2x-1≤0，此时 f（x）没有极值.

当b=-1，c=3时， f′（x）=-x2-2x+3=-（x-1）（x+3），显然， x∈（-3，1）时， f′（x）>0，此时函数递增；x∈（1，+∞）时，f′（x）<0，此时函数递减；那么当x=1时，有极大值，其值为f（1）=-，于是b=-1， c=3为所求.

（2）设曲线y=f（x）在x=t处的切线斜率为c，由-t2+2bt-c=c？圯t=0或t=2b.

若t=0，则切线方程为y=cx+bc；若t=2b，则切线方程为y=cx+bc+b2.

由-x3+bx2+cx+bc=cx+bc？圯x=0或x=3b，此时，公共点为（0，bc），（3b，4bc）.

由-x3+bx2+cx+bc=cx+bc+b2？圯x=2b或x=-b，此时，公共点为（2b，b2+3bc）和（-b，b2）.

综上：b=0时，斜率为c的切线与该曲线的公共点仅为（0，0）；否则，公共点为（0，bc），（3b，4bc）或（2b，b2+3bc）和（-b，b2）.

（3）由g（x）=|f′（x）|=|-（x-b）2+b2+c|，

①当|b|>1时，函数y=f′（x）的对称轴x=b位于区间[-1，1]之外，因此，y=f′（x）的最值在两端点处取得，故M应是g（-1）与g（1）中较大的一个.

所以2M≥g（-1）+g（1）=|-1+2b+c|+|1+2b+c|≥4|b|>4？圯M>2.

②若-1≤b≤0，则f′（1）≤f′（-1）≤f′（b）？圯g（-1）≤max{g（1），g（b）}，那么M=max{|f′（1）|，|f′（b）|}≥[|f′（1）|+|f′（b）|]≥[|f′（1）+f′（b）|]=（b-1）2≥.

③若0≤b≤1，则f′（-1）≤f′（1）≤f′（b）？圯g（1）≤max{g（-1），g（b）}，那么M=max{|f′（-1）|，|f′（b）|}≥[|f′（-1）+f′（b）|]≥[|f′（-1）+f′（b）|]=（b+1）2≥

综上，对任意的b，c都有M≥.

而当b=0，c=时，g（x）=-x2+在区间[-1，1]上的最大值M=，

故M≥K对任意的b，c恒成立的k的最大值为.

点评 本题建立在创新定义的展开，从第一问确定b，c的值，到第二问求公共点的坐标，再到第三问恒成立时参数的最值.无论哪个环节、哪个步骤想产生结论都并非易事.特别是第三问，应用不等式的放缩技巧十分到位，堪称经典.

函数、导数与不等式的命题特点，我们暂时就谈到这里，虽然在此也列举了多种类型的多个例题，但并未囊括所有. 这一块毕竟是中学数学的重点、高考命题的热点，拥有这些，一样不能说这一块没问题了.

（作者单位：中山市第一中学）

责任编校 徐国坚