合情推理与演绎推理

汤安宁

【摘要】 合情推理与演绎推理是相辅相成的关系，两者既对立，又统一，是辩证的统一体.

在数学教学中，学生亲身经历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在这个过程中，学生感悟数学的基本思想，积累数学的活动经验，这对于提升他们的数学素养是极为有益的.

【关键词】 数学推理；合情推理；演绎推理

一、合情推理与演绎推理的关系

在数学中，从推理的结果来区分，有论证推理和合情推理. 论证推理通常叫证明或演绎推理，演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，所得结论是可靠的. 然而，由合情推理所得的结论是不能最终肯定的，只能叫猜想或假说. 合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括经验和实践的结果），以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.自从希腊的哲学之父泰勒斯把演绎方法引入数学以后，演绎证明就构成了数学的灵魂，深入的演绎推理能够挖掘出前提中蕴藏得很深的结论，它使数学的理论形成了严密的体系，为数学乃至科学的发展起了至关重要的作用.但演绎推理从本质上讲，不能为我们提供新的知识，彭加勒说：“逻辑学与发现、发明没有关系.”这句话虽然说得有些过分，但却突出地指出了演绎作用的局限性.至于合情推理，它的特点是使人富于联想、创造.但由于合情推理得出的结论往往超出前提控制范围，前提就无力保证结论为真，因此，合情推理只能是或然性的推理，它的正确性需用演绎方法加以证明.一般地说，严格的数学理论是建立在演绎推理之上的，但数学的结论及相应的证明方法则又是靠合情推理去发现的.因此，演绎推理与合情推理是相辅相成的关系，两者既对立，又统一，是辩证的统一体.

二、運用合情推理与演绎推理进行教学设计的案例

在“等腰三角形性质”的教学中，笔者运用合情推理与演绎推理让学生先猜想，再证明，教学设计如下：

1. 运用合情推理，让学生动手操作发现猜想结论

本节课一开始，教师请全体同学拿出准备好的等腰三角形纸片（上节课已布置），并动手将等腰三角形对折（如图），要求每名学生在操作过程中细心观察，或用三角板、量角器进行测量，猜想图形中的线段、角等关系，并将发现的结论写出来.

由于等腰三角形的纸片是学生自己制作的，其思想感情、学习兴趣都比较浓厚.于是，经学生的独立探索后，老师请同学自由发言，在此基础上，再让学生归纳得到：

（1）∠B = ∠C.

（2）BD = DC（AD是折痕）.

（3）∠BAD = ∠CAD.

（4）∠ADB = ∠ADC = 90°.

（5）△ADB ≌ △ADC.

（6）△ABC是轴对称图形.

2. 运用演绎推理， 让学生对猜想的结论进行证明后再讨论

结论是学生自己发现的，猜想结论的证明也就成了学生自发的需要.于是，教师趁热打铁，要求同学对猜想结论： ∠B = ∠C进行证明.这个过程让学生独立完成或同学间讨论完成，教师仅对个别差生辅导，待大部分同学证明好之后，教师指定一名同学到讲台上对全体同学讲述并板书证明过程（其证明思路是：画底边BC的中线AD， 证△ADB≌△ADC，得∠B=∠C），接着教师指出，以上证明过程实际上已证明了全部的猜想结论，同时又提出以下问题让学生讨论.

问题1：你是怎样想到作底边中线AD的？

学生思考后讨论式发言，认为：①由折痕想到的.②要证角相等，先想到证三角形全等.添上中线AD，就有了两个三角形全等.

问题2：还有另外作辅助线的方法吗？

学生讨论后，有两名同学举手发言指出：还可作∠BAC的角平分线或者作底边BC上的高，这时教师当即给予肯定，并请他们讲述思路，使他们享受到发现者的喜悦.

问题3：从以上证明过程中我们可以得到哪些“副产品”.

引导学生抓住中线AD的三重性，让学生讨论后得到：等腰三角形的顶角角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合.

三、对数学教学的启示

在数学课堂教学中，怎样培养学生的推理能力？笔者认为：

1. 营造一个宽松的、良好的可供学生猜想、证明的空间

教师可以经常地引导学生“从最简单的开始！”——以此作为座右铭，为归纳、猜想提供一个适当的出发点和立足点，让学生主动、积极地去猜想结论，然后让学生自己去证明由猜想得到的结论.

2. 把教学过程设计为“再创造”的过程

在证明一个数学定理之前，先引导学生猜想这个定理的内容，在完全作出详细证明之前，先引导学生猜测证明的思路，努力探索出符合培养“猜想、证明” 推理能力的教学模式.

3. 在解题活动中，要引导学生见没有答案（或结论）时，可先猜测一下答案（或结论）

猜侧答数的形式，答数的范围；猜测中间结论；猜测解题方向，以形成思路；对某思路的能解性作出估计等，在此基础上完成数学问题的解题过程，同时要培养学生在演绎试推中提倡推中有猜，猜后再推.培养学生良好的解题习惯.

【参考文献】

[1]史宁中.教育与数学教育.长春：东北师范大学出版社，2006.