正方形中的计算问题

赵国瑞

在所有的四边形中，正方形无疑是最完美的四边形。它不仅是轴对称图形，同时还是中心对称图形，既具有矩形的一切性质，又具有菱形的一切性质，是矩形和菱形的“完美化身”。正方形的这些性质为我们解答正方形有关的计算问题提供了便利。下面举例说明。

例1 （2012年天津市中考题）如图1，在边长为2的正方形ABCD中，M是边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ）

A. -1 B.3-

C. +1 D. -1

分析 因为DG=DE=ME-DM=MC-DM=MC-1，因此只需求出MC的长，可在Rt△DMC中，利用勾股定理求解。

解 在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，所以DM= AD=1。

在Rt△DMC中，由勾股定理得，MC= = = 。

所以DG=DE=ME-DM=MC-DM= -1。故答案选D。

例2 （2012年四川省宜宾市中考题）如图2，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=________。

分析 直接求DE比较困难，注意到CE平分∠ACD，联想到角平分线的性质，可先过点E作EF⊥CD于F，则CF=CO，且△DEF是等腰直角三角形，容易求出CF的长，进而求出DF的长，然后在等腰直角三角形DEF中求出DE的长。

解 在正方形ABCD中，△ABC是等腰直角三角形，

所以AC= AD= 。

过点E作EF⊥CD于F，如图2，则CF=CO= AC= 。

所以DF=CD-CF=1- 。

易知△DEF是等腰直角三角形，所以DE= DF= （1- ）

= -1。

点评 解答本题的过程中用到这样一个结论：等腰直角三角形的斜边长等于直角边长的 倍，这个结论可以通过勾股定理推出。

例3 （2012年四川省泸州市中考题）如图3，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ）

A. a2 B. a2

C.（1- ）a2 D.（1- ）a2

分析 设B′C′与CD交于点E，由于S阴影=S正方形ABCD-S四边形AB′ED=a2-S四边形AB′ED，所以关键是求S四边形AB′ED。为此，连接AE，易证△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE=∠DAE=30°。然后利用含30°的直角三角形的三边关系求出DE的长，这样就可以求出S△ADE，进而求出S四边形AB′ED，最后再求出阴影部分的面积。

解 设B′C′与CD交于点E，连接AE。

易证Rt△AB′E≌Rt△ADE。所以∠B′AE=∠DAE，S四边形AB′ED=2S△ADE。

因为∠B′AB=30°，∠BAD=90°，所以∠B′AE=∠DAE=30°。

在Rt△ADE中，∠DAE=30°，所以AD= DE。所以DE= = 。

所以S四边形AB′ED=2S△ADE =2· · ·a = a 2。

所以S阴影=S正方形ABCD-S四边形AB′ED=a2- a2

=（1- ）a2。故答案选D。

点评 在解答本题的过程中用到这样一个结论：有一个锐角为30°的直角三角形的三边之比为1∶ ∶2，如图4所示，这个结论可以通过勾股定理推出。

例4 （2012年贵州省铜仁市中考题）如图5，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是_______。

分析 由“正方形绕对称中心旋转90°后仍与原图形重合”易证△AOB是等腰直角三角形，因此AB= AO。要求AB的最小值，只需求AO的最小值。

解 在正方形CDEF中，OD=OE，∠ADO=∠BEO=45°。

而∠AOD=90°-∠BOD=∠BOE，

所以△AOD≌△BOE。所以OA=OB。

而∠AOB=90°，所以△AOB是等腰直角三角形。所以AB= AO。

要使线段AB最小，只需AO最小。

由“点到直线的线段中，垂线段最短”知，当AO⊥CD时，AO最小。此时AO= CD=1。所以线段AB的最小值为 。