从构造特殊四边形入手

黄细把

平行四边形、矩形、菱形、正方形、直角梯形、等腰梯形都是特殊的四边形，各有其固有的性质。对于某些图形问题，从构造这几种特殊四边形入手，可找到很好的解题途径。

一、构造平行四边形

例1 如图1，△ABC中，AB=5，AC=3，则BC边上的中线AD的长m的取值范围是（ ）

A.0

解析 延长AD到E，使ED=AD，那么四边形ABEC是平行四边形。

则有AB-BE

因为BE=AC=3，AE=2AD=2m，

所以5-3<2m<5+3。

所以2<2m<8。

所以1

二、构造矩形

例2 如图2，四边形ABCD中，∠BAD=60°，∠ABC=∠ADC=90°，那么 =______。

解析 过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，那么四边形ABEF是矩形。现用DF和CE分别表示AB+AD及CB+CD。

因为∠BAD=60°， ∠ADC=90°，

所以∠DAF=30°， ∠CDE=30°。

所以AD=2DF，CD=2CE。

所以AF= = DF，

DE= = CE。

所以AB+AD=（DF+DE）+AD=3DF+DE= （ DF+CE），

CB+CD=（AF-CE）+CD=AF+CD-CE= DF+2CE-CE= DF+CE。

所以 = = 。

三、构造菱形

例3 如图3，五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，那么它的面积S五边形ABCDE =______。

解析 延长EA、CB交于点F。可知△FAB是等边三角形，且FE=FC=DE=DC=4，那么四边形DEFC是菱形，S五边形ABCDE=S菱形DEFC-S△ABF。为此，应再过点C作CH⊥DE于点H，过点F作FG⊥AB于点G。

因为∠CHD=90°，∠D=60°，

所以DH= CD=2，CH=2 。

所以S菱形DEFC=DE·CH=8 。

因为∠FGA=90°，∠FAG=60°，所以AG= FA=1，FG= 。

所以S△ABF = AB·FG= 。所以S五边形ABCDE =8 - =7 。

四、构造正方形

例4 如图4，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，E、F分别为CA、CB上异于端点的点，DE⊥DF，AB=10，设x=DE+DF，则x的取值范围是________。

解析 过点A作AG∥CB，过点B作BG∥CA交AG于点G，那么四边形ACBG是正方形，再延长ED交BG于点M，延长FD交AG于点N。因为点D是AB的中点，所以点D是正方形ACBG的中心。

所以EM=2DE，FN=2DF。

因为CB

所以2CB<2DE+2DF<2AB。

所以CB

因为CA=CB，∠ACB=90°，AB=10，所以CB=5 ，

所以5

五、构造直角梯形

例5 如图5，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB= ，BC=5- ，CD=6，则AD=______。

解析 过A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，过D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，那么四边形ADFE是直角梯形，过点A作AH⊥DF于点H，则四边形AEFH是矩形，AD= 。

因为AB= ，∠ABE=45°，所以AE= ，BE= 。

因为CD=6，∠CDF=30°，所以CF=3，DF=3 。

所以DH=DF-AE=2 ，AH=BE+BC+CF=8。

所以AD= = =2 。