运用“微探究”提升初中数学几何定理教学的有效性

郑丽娟

摘 要：“微探究”教学具有小巧、灵活、用时少、便于操作的特点，很适合在初中数学几何定理课堂教学上运用，是提升课堂教学有效性的一种途径。

关键词：微探究；定理教学；有效性

1 问题的提出

《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一；动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。平面几何定理是初中数学教学的重要内容，在教学中必须加强定理的探索与发现过程的教学。一般的探究教学用时长、操作烦、过程多，在实际课堂定理教学中很难展开，“微探究”教学具有小巧、灵活、用时少、便于操作的特点，很适合在初中数学几何定理课堂教学上运用。它是根据教学内容、课堂实际，灵活地从课堂中拿出5-15分钟，围绕某个知识点或某一问题，以学生为主体、师生共同参与的一种研讨式、交流式的教学方式。平面几何定理的“微探究” 教学不仅可以很好地做到教师“教”与学生“学”的统一，也是提高学生合情推理能力和演绎推理能力，培养学生数学逻辑思维能力和创新意识的重要途径。笔者在初中几何定理教学中进行了“微探究”的一些探索，现交流如下：

2 几何定理教学中实施“微探究”的教学流程

2.1 实施动手操作式的“微探究”，揭示定理的内在本质

案例1“直角三角形斜边上中线的性质定理”的微探究

2.1.1 对定理的简要说明

“直角三角形斜边上中线的性质定理”是比较重要的一个性质，但在初中数学教材中它却是以矩形性质（矩形的对角线相等）的推论直接呈现出来的，学生对这一定理的理解就只停留在表面的文字叙述和数学符号语言上，甚至很多学生忽视了它的存在。笔者在教学中设置了一个“微探究”过程，取得了很好的效果。

2.1.2 “微探究”过程

第一步，学生带着问题画图探究。

师：请你从直角顶点C出发向斜边AB引一条线段CD，使得该线段将一个一般直角三角形ABC分成两个等腰三角形。

学生考虑作的角平分线或斜边AB上的高或斜边AB上的中线。

第二步，学生自主探究，合作交流。

学生发现作的角平分线CD或斜边AB上的高CD只能将等腰直角三角形ABC分成两个等腰三角形，一般的却不成立。接着有学生提出作斜边AB边上的中线可以，通过画几个图用尺子测量发现都能得出AD=CD=BD的结论。

师：很好，度量猜想也是思考问题的一种方法。我们该怎么验证呢？

生1：我有另外一种做法，先作∠ACD=∠A，那么CD=AD，△ACD是等腰三角形。接下来只要证另一个三角形也是等腰三角形就可以了（如图1所示）。

师：你太棒了，另辟奚径，给我们解决问题提供了一种很好的思路。能跟我们一起分享你的证法吗？

生1：因为∠ACD+∠BCD=90°，∠A+∠B=90°，∠ACD=∠A。所以∠B=∠BCD，BD=CD，△BCD也是等腰三角形。

师：非常好！通过余角的重要性质来证得。还有同学需要补充的吗？

生2：这一题先作∠BCD=∠B，也可以证明ACD是等腰三角形。

生3：是啊，我还发现CD=■AB。

师：你的观察力真敏锐，发现了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系。

第三步，学生获得结论。

生4：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

师：大家真棒，都成了一次数学家，成功地经历了定理的探索与发现过程。这就是今天我们所要学的直角三角形一个重要的性质定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。”

2.1.3 “微探究”效能分析

以上是对“直角三角形斜边上中线的性质定理”进行引入时实施的一次“微探究”。 学生对定理的理解是一个由具体到抽象的认识过程，将定理以适当的方式加以引入并弄清来龙去脉不但能使定理的内容在学生头脑中留下深刻的印象，还能激发学生的学习兴趣。该“微探究”先由学生动手操作获得直观体验、体现了新课程理念提倡的几何直观形象化；再由学生自主探索、合作交流获得定理，实现了由感性到理性的认识、揭示了定理的内在本质。整个微探究过程都是以学生为主体，教师为主导，充分体现了新课程的核心理念。经历了该“微探究”过程，学生不仅可以很好地把相关的几何图形与该定理内容联系在一起，达到对定理的灵活运用；而且合情推理和演绎推理能力也得到了进一步提高。

2.2 实施任务驱动式的“微探究”，揭示定理的联系与区别

案例2 “菱形的性质定理”的微探究

2.2.1 对定理的简要说明

菱形是特殊的平行四边形，整个学习研究内容与平行四边形相似。在学习菱形之前，学生已获得了相关学习的一些数学活动经验，可以让学生对菱形性质进行自主探究、合作学习，教师在整个过程中起组织者、引导者、合作者的作用。此外，在这一章中，涉及到的定理内容较多，由学生自主探究学习可以很好地做到对定理进行联系与区别，避免混淆。

2.2.2 “微探究”过程

任务1 平行四边形的性质有哪些？它是从哪几方面进行阐述的？

任务2 类比平行四边形的性质，探究菱形除了具备平行四边形的一般性质外，还具有自己本身哪些特殊的性质？并证明之。

学生独立探究、动手操作，类比平行四边形，利用量角器、三角板、直尺等工具从菱形的边、角、对角线等方面探索菱形可能具有的特殊性质，并将探究结论写下来。两分钟后小组交流，三分钟后小组选代表讲解、交流，相互补充，猜想菱形具有的特殊性质。最后学生上台结合黑板上的菱形进行讲解，证明所得的结论，师生共同补充，得出菱形的性质。

2.2.3 “微探究”效能分析

该“微探究”通过老师设置任务，学生受任务的驱动通过类比平行四边形的性质进行自主探索、合作交流学习。在不断的思维碰撞中促进了对菱形性质的自主建构，并完善了自己的认知结构，很好地进行了相关定理的联系与区别。充分体现了新课程的理念，以学生为主体，对于新知识的获取建立在学生已有的知识经验基础之上。此外，对这部分内容进行探究性学习对学生后续的正方形、等腰梯形、直角梯形性质的探究学习也起着积极作用：都是抓住“边、角、对角线”三个基本元素进行研究，研究对象也都只关注它们的度量关系和特殊位置关系；从而进一步积累了数学的基本活动经验。

2.3 实施问题引导式的“微探究”，进行定理的拓展

案例3 “多边形的内角和定理”的微探究

2.3.1 对定理的简要说明

多边形内角和知识与三角形相联系，从三角形内角和到多边形内角和环环相扣，前面知识为后边知识做了铺垫，同时下一课时的多边形内角和与本节内容又密切联系。因此对这个定理很有必要进行探究。

2.3.2 “微探究”过程

第一步：创设情境，设疑激思。

问题1：三角形内角和是180°，那若改为四边形、五边形、甚至n边形内角和又分别是多少呢？

问题2：在解决这个问题之前，我们先来回顾一下三角形内角和是通过什么方法猜想出来的？（生答用量角器度量或拼角。）

问题3：根据三角形内角和的求法，你能否猜想出四边形的内角和呢？

问题4：在度量、拼角的过程中，有没有发现这两种方法存在不足之处呢？我们能否尝试找到一种精确、省事且有理论根据的方法呢？

生答度量方法不精确，拼角方法操作不太容易，更有学生提出若不是四边形，而是边数较大的任意一个多边形时，这两种方法都不好用。

第二步：引导探索。

问题5：在我们解决未知的问题时，可以考虑用什么方法来解决呢？（生答将“未知”转化为“已知”，将四边形转化为三角形。）

学生动手实践、自主探究。2分钟后，小组讨论、交流，寻找解答方法，并共同进行归纳总结得出了以下4种方法（如图2、图3、图4、图5所示）。

第三步：类比迁移。

问题6：在我们刚得到的几种方法你觉得哪种方法最简单呢？涉及到了哪些数学思想？（生答第一种，“类比”思想、“转化”思想、“分类讨论”思想。）

问题7：请同学们选择你最喜欢的方法探索五边形、六边形的内角和，并猜想n边形的内角和是多少？

学生通过实验、归纳与合作交流很顺利地完成了上述任务。

2.3.3 “微探究”效能分析

教育的根本目标就是育人，“从数学学科教学的角度，作为人的发展，就体现在发展人的认知力。”教学生学会思考，特别是面对新的情境，解决新问题时，要引导学生寻求解决新问题的思路和方法。“问题是思维的心脏”， 在一连串层层递进的设问中，探究实践过程要真正理解和掌握数学的基础知识、基本技能，并关注到了数学的基本思想和基本活动经验。

3 几何定理教学中实施“微探究”的思考

初中数学几何定理的有效教学是培养学生合情推理、演绎推理、逻辑思维能力和创新意识的重要途径，因此，引入“微探究”就显得很有必要。但在具体实施时应关注以下几点：

（1）选择的内容要符合本班学生的认知特点，要在学生能力“最近发展区”内，要有利于学生体验与理解、思考与探索。

（2）面向全体学生，关注个体差异；给学生足够的时间和空间进行探索；在经历定理的形成与发展过程，弄清定理的来龙去脉时，要特别注意数学基本活动经验的积累与数学基本思想的渗透，为进一步迁移和应用做好准备。

（3）定理的内容要与几何图形有机地结合起来，渗透“数形结合”思想；要尽可能与学过的定理联系起来在新旧知识的反复重构中加深理解。

（4）教师要进行及时的激励性与过程性评价。

4 结束语

笔者在近一年的“微探究”教学实践中初见成效：所执教的两个班实验班比控制班更乐于学数学，学生的思维能力得到了提升，解题能力也有了明显的提高。综上所述，在初中数学几何定理教学中实施“微探究” 教学是适合我们目前课堂、提升课堂教学有效性的一种有效途径。让我们合理运用“微探究”进行教学，让我们的“微探究”之路越走越远 ！

参考文献：

[1]陈锋，薛莺. 从课堂“微探究”谈初中数学有效教学[J].中学数学教学参考：中旬，2013（4）：16-18.

[2]薛莺，陈锋. 运用“微探究”帮助学生理解数学概念[J].中学数学教学参考：中旬，2013（6）：20-22.