探究：反比例函数与正比例函数及反比例函数与一次函数的交点坐标的关系

王卫敏

【摘 要】课堂教学是学生在校期间学习文化科学知识的主阵地。本文结合自己的教学实际，从激发学生学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂时间的利用率，提高学生对知识的吸收率，增强数学教学机智，提高思维品质的优化率等方面，阐述了数学课堂教学中如何提高教学效果。

【关键词】反比例函数；正比例函数；学习兴趣；思维能力

经验告诉我们，很多问题其实不用那么复杂的去算，只要理解其算理，推导一般表达式，就可找出规律，没有必要一一解答出来就可得其结果。比如：反比例函数与正比例函数和一次函数关于原点对称点的坐标之间的关系就是这样。

首先，来探讨反比例函数与正比例函数交点坐标之间的关系：

设反比例函数表达式为：，正比例函数表达式为：，要求其交点坐标，把二者组成方程组，（、同号）

解：把②代入①得： ③

由③得： ④

由④得： ⑤

解⑤得：

把代入①得：

把代入①得：

∴反比例函数与正比例函数关于原点对称点的坐标为：

规律1：反比例函数与正比例函数的交点坐标是关于原点对称的。由此可见，知道这个规律，做起题来显然会节省不少时间。

例如：已知正比例函数和反比例函数的一个交点坐标为（2，-5），则其另一个交点坐标很容易就得到是（-2，5），不用再求其解析式，然后再组成方程组那么繁琐了。

其次，来探讨反比例函数与一次函数交点坐标之间的关系：

设反比例函数表达式为：①，一次函数表达式为：（ 同号）

把①代入②得： ③

由③得：

把：代入②得

∴反比例函数与一次函数交点坐标为：

规律2：反比例函数与一次函数交点坐标之间的关系：一个点的横坐标乘就得到另一个点的纵坐标，反之，一个点的纵坐标除以就得到另一个点的横坐标。

做题时，学生容易把两交点的横纵坐标错误写成互为相反数，比如若两函数的一个交点坐标为：（-1，6），则另一个交点他会错写成：（-6，1）。有上述一般表达式求出的交点坐标可以看出，只有当等于1时，才有上述规律。

推理过程如下：

当为1时，就得到两函数的交点坐标为：

规律3：反比例函数与一次函数交点坐标之间的关系：当一次函数的比例系数为1时，一个点的横坐标乘 -1就得到另一个点的纵坐标，反之，一个点的纵坐标乘 -1就得到另一个点的横坐标。

知道上述规律，做起题来显然会节省不少时间的。

例如：1.求反比例函数与一次函数的交点坐标，算出其中一个交点坐标为（，4）我们可以由规律2得到另一个点的坐标为：（-2，-1）。

2.求反比例函数与一次函数的交点坐标，算出其中一个交点坐标为我们可以由规律2得到另一个点的坐标为：。

数学知识比较深奥，每堂数学课都对学生具有新鲜感，如能在引入新课时，提出具有诱惑力的问题，更能激发学习兴趣。我们知道，引入新课一般有开门见山的直导式，有观察规律的发现式，有实验操作的演算式，有具诱惑力的问答式等，在各种不同的方式中，都可以直接提出与课本有关的问题或通过诱导的方式提出问题。或让学生通过自己的知识经验去探索一些规律，会更能激发他们的学习兴趣和求知欲望。

兴趣是促使学生进行数学学习的最强动力，浓厚的学习兴趣可以使学生的大脑处于活跃状态，从而全神贯注地投入学习。因此，在初中数学教学中，教师应灵活结合课堂教学内容，创设能够激发学生学习兴趣的教学情境，通过提出对学生感兴趣的问题引导学生去思考，让他们真正体会到学习的愉悦和数学的乐趣。

数学是思维的体操，教师应利用数学的这一特点，将培养学生的思维能力贯穿到整个数学教学的过程中去。在具体课堂教学中，教师应注重培养学生良好的思维品质，使他们的思维有明确的方向、独特的见解和广阔的思路等。为了扎实推进素质教育，数学教师应注意突出和培养学生的数学思维能力，让学生学会独立思考问题，进而培养其分析问题和解决问题的能力。除此之外，培养学生健康乐观的情感、坚韧不拔的毅力和积极进取的精神等良好的心理素质，不仅有利于学生的积极学习，而且有利于学生的身心健康。