发现隐藏函数，为此豁然开朗

沈小亮

近几年，厦门的中考压轴题考查的都是初中数学的核心知识，如考数形结合思想，函数与方程的思想，转化的思想，以及良好的作图习惯等.涉及的基本解题方法和技能包括面积法、锐角三角函数的运算法、坐标法等.压轴总是难倒了很多学生，因为找不到解决问题的关键之处和突破口，更因为有畏难情绪.其实，厦门这几年中考压轴题的第（1）小题并没有为难学生，只是考查了数学的基本知识、基本方法和基本技能，体现了面向全体学生的指导思想.而所谓的压轴难题，似乎也都能找到题眼——隐藏函数.现解析厦门近三年中考压轴题，与大家分享.

1.函数隐藏于问题里

例1：（2011年厦门）已知抛物线y=-x+2mx-m+2的顶点A在第一象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D并交抛物线于点P.（1）若点C（1，a）是线段AB的中点，求点P的坐标；（2）若直线AP交y轴的正半轴于点E，且AC=CP，求△OEP面积S的取值范围.

分析：（1）根据题意得顶点A的坐标为（2，a），然后设P（1，n）代入x=-，得A点的横坐标为m，求得函数的解析式，把P点的坐标代入得n=1，从而求得函数解析式；

（2）把抛物线化为顶点式：y=-（x-m）+2，求得其顶点坐标，设C（n，2），然后表示出P（n，-（n-m）+2），根据AC=CP求得m-n的值，然后表示出OB、OE的值，从而表示出△OPE的面积，进而求得面积的取值范围.

解答：（1）依题意得顶点A的坐标为（2，a），

设P（1，n），据x=-，得A点的横坐标为m，即m=2，

所以y=x+4x-2，把P点的坐标代入得n=1，

即P点的坐标为（1，1）.

（2）把抛物线化为顶点式：y=-（x-m）+2，

可知A（m，2），设C（n，2），

把n代入y=-（x-m）+2得y=-（n-m）+2，

所以P（n，-（n-m）+2）.

∵AC=CP，

∴m-n=2+（m-n）-2，

即m-n=（m-n），

m-n=0或m-n=1，

又∵C点不与端点A、B重合，

∴m≠n，

即m-n=1，

则A（m，2），P（m-1，1）.

由AC=CP可得BE=AB，

∵OB=2，

∴OE=2-m，

∴△OPE的面积S=（2-m）（m-1）=-（m-）+（1

∴0

點评：第（1）小题抓住中点，由C（1，a）→A（2，a）是十分重要的，而点P横坐标为1，根据“点在线上就代入，半个坐标也代入”的方法，还要先求抛物线的解析式，根据点A是顶点求得.一切水到渠成.而真正的压轴第（2）小题，思维的突破口就在问题中“△OEP面积S的取值范围”，由此可见S是有范围的，说明S是会变的，那么从函数观点看它是一个变量，而S的范围说明它是随着某个变量变化而变化的，所以它是函数.目标就是写出S的解析式，至于如何由已知条件从形到数、数形沟通等，都是为达到这个目标服务的.

2.函数隐藏于条件中

例2：（2012年厦门）已知点A（1，c）和点B（3，d）是直线y=kx+b与双曲线y=（k>0）的交点.（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM.若AM=BM，求点B的坐标；

（2）设点P线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y=（k>0）于点N.当取最大值时，若PN=，求此时双曲线的解析式.

分析：（1）过B作BQ⊥x轴，由点A（1，c）和点B（3，d）都在双曲线（k>0）上，得到即c=3d，则A点坐标为（1，3d），根据勾股定理计算出MB=，然后利用AM=BM得到（3d）=2+d，求出d的值，即可确定B点坐标.

（2）由B（3，d）可得到反比例函数的解析式y=，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-dx+4d，则可设P（t，-dt+4d），则N（t，），表示出PN=-dt+4d-，NE=，再计算==t+t-1，配方得-（t-2）+，由于取最大值，所以t=2，此时PN=-dt+4d-=，解方程得到d的值，即可确定双曲线的解析式.

解答：（1）如图，过B做BQ⊥x轴，

∵点A（1，c）和点B（3，d）都在双曲线y=（k>0）上，

∴1·c=3·d，即c=3d，

∴则A点坐标为（1，3d），

∴AM=3d，

∵MN=3-2=1，BN=d，

∴MB=，

而AM=BM，

∴（3d）+2+d，

∴d=，

∴B点坐标为（3，）.

（2）如图，把B（3，d）代入y=得k=3d，

∴反比例函数的解析式为y=，

把A（1，3d）、B（3，d）代入y=kx+b得

k+b=3d

3k+b=d，

解得

k=-d

b=4d，

∴直线AB的解析式为y=-dx+4d.

设P（t，-dt+4d），则N（t，），

∴PN=-dt+4d-，NE=，

∴==-t+t-1=-（t-2）+，

当取最大值时，t=2，

此时PN=-dt+4d-=，

∴-2d+4d-=，

∴d=1，

∴反比例函数的解析式为y=.

点评：第（1）小题以反比例函数为载体，“点在函数图像上，则点的横纵坐标满足其解析式”，发现数量关系，秉着未知量越少越好的原则，用正确的字母表示点坐标，再利用勾股定理计算有关线段长度.

第（2）小题解题的关键在于条件“当取最大值时”，事实上它就是一个隐藏函数，是存在最大值的隐藏函数.如何用含有字母的代数式表示，是解决本题的关键也是难点.这就对较繁运算提出了更高的要求.除了要有全面的观念及对问题的整体把握外，同时还要注意函数建模在解题过程中的灵活运用.

3.函数藏于“不起眼”处

例3：（2013年厦门）若x，x是关于x-bx+c=0的方程的两个实数根，且|x|+|x|=2|k|（k是整数），则称方程x+bx+c=0为“偶系二次方程”.如方程x-6x-27=0，x-2x-8=0，x+3x-=0，x+6x-27=0，x+4x+4=0，都是“偶系二次方程”.

（1）判断方程x+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；

（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由.

分析：（1）求出原方程的根，再代入|x|+|x|看结果是否为2的整数倍就可以得出结论.

（2）由条件x-6x-27=0和x+6x-27=0是偶系二次方程建模，设c=mb+n，就可以表示出c，然后根据公式法就可以求出其根，再代入|x|+|x|就可以得出结论.

解答：（1）不是.

解方程得x+x-12=0得x=3，x=-4.

|x|+|x|=3+4=7=2×3.5.

∵3.5不是整数，

∴x+x-12=0不是偶系二次方程.

（2）存在.理由如下：

∵x-6x-27=0和x+6x-27=0是偶系二次方程，

∴假设c=mb+n，

当b=-6，c=-27时，-27=36m+n.

∵x=0是偶系二次方程，

∴n=0时，m=-，

∴c=-b.

∵x+3x-=0是偶系二次方程，

当b=3时，c=-×3.

∴可设c=-b.

对于任意一个整数b，当c=-b时，

△=b-4c=4b.

∵x=，

∴x=b，x=b.

∴|x|+|x|=2b，

∵b是整数，

∴对于任何一个整数b，c=-b时，关于x的方程x+bx+c=0是“偶系二次方程”.

点评：（1）历年来许多地区的中考题中常有涉及阅读型的新题型，只要学生读懂新概念的内涵，解答并不难.本题考查了一元二次方程解法的运用.

（2）考查了根的判别式的运用及数学建模思想的运用，解答本题时根据条件建立函数模型是关键.而本题的函数模型竟然隐藏在题目给出的看似“很不起眼”的例子中，需要独具慧眼.

事实上，发现隐藏的函数，找到解题突破口，并不能靠“碰运气”，而要以解题者的知识容量为背景，具备的能力为基础，敏锐的观察为先导，联想与分析为武器，应用已有经验和知识进行再创造，正所谓“冰冻三尺非一日之寒”.

4.对教学的启示

4.1立足基础知识，关注核心教学内容.

基础知识、基本技能和基本方法是初中数学的主要内容，中考也着重考查这些内容.点生成线，线生成面，再复杂的几何图形都是由简单的基本图形构成的，所以，即使拔高性试题也是对这些基本知识、基本技能和基本方法的考查和再创造.因此教学中，要时刻注意以《课程标准》的要求指导教学，关注知识的再生性，让学生体会知识产生的过程和其他知识之间的联系，掌握其中的数学思想方法，加深对数学问题本质的理解.

4.2关注分析解决问题能力的培养.

中考不仅仅有对基本知识、基本技能和基本方法的考查，为了有区分度，综合大题更多的是考查学生分析解决问题的能力，包括学生的探究、归纳，实际应用、逻辑推理、分析问题、数学建模等方面的能力.而这些能力不是一蹴而就的，这就要求我们在平时的教学中，要立足能力的培养，而不是一味地传授知识，要学生更多的时间和空间，让学生参与到教学中，在获得新知识的过程中锻炼能力.

4.3强调思想方法，强化归纳意识.

数学思想是数学基础知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识之中，是数学知识的精髓.在教学中，以一定的数学知识为载体，有意识地梳理和归纳问题中的“思想性”和“规律性”，让学生通过探究感受，体验知识得到的过程.这样的教学能使学生真正理解知识，掌握数学思想方法.而将学到的知识和思想方法再进行应用，分析和解决问题，从实践到理论，再从理论到实践，使得感性认识上升为理性认识.从而优化了学生的思维品质，提高数学能力，增强学生创新意识.

4.4注重变式，举一反三.

目前“题海战术”还普遍存在.虽然学生整天忙着做题，但如果考试的时候出现背景熟悉的题目，稍微改了一下条件或者换了一种的提问方法，学生往往就会束手无策，不知如何下手.事实上，这只能说明学生并没有真正掌握知识，而只是就题做题，做一题只会一题，而不是会一类题.原因除了学生本身没有及时总结解题规律和方法外，教师也有需要注意的方面..教师在选取典型题时，不仅要引导学生分析解决问题，更要指出常见错误和产生原因，不仅让學生知其然，更知其所以然.除此以外，要善于以典型例题为原型，导出同类的题目，可能是换条件，可能是换结论，把它们集中在一起，形成一个共同的认知体系.让学生对不同的立意、不同的解题策略进行归纳总结，变对单一知识点的考查为对多个知识点的考查，从而培养学生的应变能力，提高学生的解题能力.

4.5研究学情，关注学生发展.

承认差异，尊重个体，让不同层次的学生尽可能地展示自己的才华，是《数学课程标准》倡导的一个基本理念.在教学实践中，教师会发现用统一的教学方法对待具有不同特点的学生，很难获得令人满意的教学效果.总会有一部分学生对教学方法不适应，这就是个体差异，如果缺乏对这些学生的关注，就会打击他们学习数学的信心.教师要秉着“人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的教育理念，做到教学内容分层，课后作业分层，考试评价多样，等等.

参考文献：

[1]毛孟杰.捕捉题眼，巧妙转化[J].中学数学，2010，8.

[2]王赛英.对2010年宁波市中考题压轴题的探究[J].中学数学，2010，9.

[3]陈祖华.低起点，高立意——从一道中考试题说开去[J].中学数学，2010，11.