论数学复习课教学与学生发散思维的培养

肖丽芬

跨入新世纪，实施素质教育，全面提高学生的综合素质和培养学生的创新能力，已成为当前中国教育改革的主旋律。实施素质教育，就是要教育工作者营造一种良好的教与学的氛围。下面我谈谈在数学复习课教学中如何启动学生发散思维，营造培养学生发散思维的良好氛围。

一、发散思维能开发学生学好数学的潜能。

哲学家歌德曾风趣地说：“经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一只眼睛看到纸背后的话。”“纸背后的话”就是指思维。发散思维（即求异思维）包括横向思维、逆向思维及多向思维。它要求你放开眼光，对已知知识信息进行分析、综合并科学加工，从而收到“一个信息输入，多个信息产出”的功效。

它的特点表现在思考活动的多向性、变通性、流畅性和独特性。它的功能表现为可以开启心扉、震撼心灵，挖掘深层信息、架设起由已知经已知达未知的桥梁，创造出新的思路和解法。从一点出发向四周辐射进行思维与灵魂的对话，以达到心中悟出其真谛，从而开阔视野，举一反三，触类旁通的效果。

在数学复习课教学中引导学生发散思维，有利于学生深刻理解知识点（即概念、定理、公式等）的内在要素，有利于全面把握相关知识点的相互联系，形成网络，实现知识的高层次理解和有效存贮。例如，在复习四边形这一章时，由于概念、性质、判定和图形多，各图形之间的性质判定方法又极易混淆，而内容又广，逐一罗列各图形概念，显然觉得重复累赘。复习时可以让学生画一个图，找出四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的相同点与不同点，这样学生就把特殊四边形与一般四边形的关系搞清楚了。

二、营造发散思维的氛围，开发学生的深层智能。

1.精选范例，挖掘例题教学功能。

世界上的事物都是彼此联系、互相依存的，学生获得的知识也是互相联系、彼此依存的。在复习教学中，通过精选范例，可沟通知识之间的纵横关系，以点带面，以少胜多，开阔学生知识视野，有利于知识的延伸与拓展。例如：复习有关三角形中线问题时，可以串联有关知识，组成一系列问题，引导学生通过分析推理，复习这些知识。

（1）已知三角形ABC，AD是△ABC的中线，则△CAD和△ABD是不是全等三角形？是不是相似三角形？是不是面积相等？为什么？

（2）已知△ABC的三边长分别是a、b、c，三条中线组成一个三角形，新三角形的三条中位线又组成一个新三角形，依此类推：①求第三次组成的三角形的边长；②如果第三次组成的三角形的面积为1cm，求△ABC的面积。

（3）已知等腰三角形ABC中，BC边上的高AD为9，AB边上的中线CE为6，求△ABC的面积。

（4）已知在平行四边形ABCD中，M、N分别为BC、AD的中点，AM、CN交BD于E、F，求证：BE=EF=FD。

对于一些有相互联系的内容，可以串联有关知识，组成一系列问题，引导学生通过分析推理复习这些知识。

2.变式训练，优化学生的思维。

变式训练是总复习的常用教学手段。通过变式，可提示知识的本质和内涵，同时又从不同角度、不同方位来训练学生的思维，有利于考查学生的能力，培养学生思维的开阔性、灵活性。比如在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。这是一道华师大版八（下）数学课本例题，经变式可得以下问题：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若点E、F是对角线AC上的两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向C、A点运动，（1）四边形BFDE是平行四边形吗？（2）若BD=10cm，AC=16cm，当运动时间t为何值时，EF=BD？例题主要是利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这个判定证明四边形BFDE是平行四边形。变式在基础知识上加深难度，由点E、F的位置在线段AC上的不动型化为动态型，在例题图形类比下让学生自己画出满足条件的图形加以探究，发现此问题仍然可以利用例题的判定方法得出相同的结论。这样在保持图形的某些性质不变的情况下，将组成图形的某些元素（如点、线等）运动起来，在运動中寻找不变关系或变化的规律，提高了复习兴趣，培养了数学解题能力和探究能力。

又比如复习书本上另一道题，求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。复习时可以不失时机地进行变式，激发学生的思维兴趣。变式1：顺次连接矩形各边中点所得四边形是什么图形？变式2：顺次连接菱形各边中点所得四边形是什么图形？变式3：顺次连接正方形各边中点所得四边形是什么图形？做完这四个练习后，还可以进一步引导学生概括影响组成图形形状的本质的东西是原来四边形的对角线所具有的特征。这样通过一道题的练习解决了一类问题，归纳出各量之间最本质的东西，今后碰到类似问题学生思维指向必定准确，很好地培养了学生思维的深刻性。

3.拓展引申，培养学生探究能力与学生思维的变通性。

在学生掌握课本知识结构、解题基本技能基础上，注意学生研究、探索的思维习惯，通过对探索性问题不断猜测、探索，有利于学生创造性思维的培养，解决问题的能力的提高。

例如，MN是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，求证：点A、B到MN的距离之和等于⊙O的直径。这是一道很普通课本习题，如挖掘课本习题的潜在价值，创设新颖的问题情境，拓展思维的空间，则可得到下面问题。

已知AB是⊙O的直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于C，CD⊥AB于D，AM⊥PM于M，BN⊥PN于N，你能得到哪些结论？若连接OC、AC、BC，你又能得到哪些结论？

这是一个探索性问题，分析条件发现结论，由于这题中涉及线段、等角较多，其内容丰富，涉及面广，既能使学生复习直线、圆、切线等知识，加强知识间的联系，又能使学生由浅入深，由此及彼地探索解题途径，引导学生不断探索，从而激发学生不断进取、勇于探索的精神。

三、在培养发散思维的过程中应注意培养学生思维的收敛性，揭示本质，概括和深化数学思想。

数学思想是数学思维的核心，是数学知识与方法的抽象与概括，是数学的灵魂。教师在平时教学中注意提炼数学思想和方法，强化学生对数学思想、方法的运用，这有利于学生优化知识认知结构，活化所学知识，深化思维层次，从而提高数学解题能力。如：在一次数学习题课上，有一例题：若等腰三角形的顶角∠A=108°，BC=a，AB=b，BD平分∠ABC交AC于D，求CD。

课堂上，学生甲、乙分别给出了解法一：在BC上截取BE=BA，连接DE运用三角形的全等可得；解法二：延长BA到F，使BF=BC，连接DF，则△BDF≌△BDC。可得答案。

两种证法都达到了目的，由于“课堂要以学生为本，以学生为主体”，我问：“还有别的解法吗？”

学生C：过点A作AE∥BC，交BD的延长线于E点。然后利用比例式可求出。

学生D举起了手：在BC上截取BE=BA，连接AE。然后运用△ABC∽△EAC，即得答案。

学生E：我还有另一种证法，是延长CA，截取CF=BC。连接BF，可证∠F=∠FBC=72°，从而得△FAB∽△FBC。解一下即得答案。

虽然学生获得上述结果要花许多时间，但做这样的一题的价值要比做五题高，同时学生活动自由了，参与意识增强了，思维更活跃了。因此花点时间是非常必要和值得的。

综上所述，在初三复习教学中，通过剖析知识结构，精选范例，变式训练，加深拓展等方式，可从各个不同侧面强化学生对基础知识的掌握，沟通知识间内在联系，从而达到良好的复习教学效果。因此，我们在数学教学过程中应培养学生懂得应用发散思维（题型发散、转化发散、迁移发散、构造发散和分解发散）进行分门别类，使学生懂得解类型题的规律。

任何一个创造过程，都是发散性思维与收敛性思维的完美结合。数学中的“型异质同”“型近质同”的问题只需归类分析就可以抓住其共同本质特性，掌握解决各类问题的规律，进而触类旁通。