小议三类探索性问题的解法

2013-04-29 18:05周源
数学学习与研究 2013年7期
关键词:解题策略类型

周源

【摘要】探索性问题是高考热点之一,本文主要将探索性问题分为条件探索型、结论探索型、存在探索型三大类,并结合例题对每种类型问题的解题策略进行分析.旨在对各种纷繁的探索性问题进行归纳、整合,帮助学生提高探索性问题的解决能力与水平.

【关键词】探索性问题;类型;解题策略

探索性问题从高层次上考查学生分析问题和解决问题的能力,这类问题往往以新颖的形式出现,知识覆盖面较广,综合性较强,具有相当的难度和深度,能有效地训练学生思维,考查学生的数学素养,培养学生的创新精神.解这类问题需要通过分析判断、演绎推理、联想转化、尝试探求、猜想验证等多种思维形式去寻求解题途径.

探索性问题一般包括以下三种类型:

一、条件探索型问题

条件探索型问题:这类问题给出问题的结论后,需要完备条件或探求出使问题结论成立的充分条件.解这类问题往往要求解题者变换思维方向,开拓逆向思维.将题设和结论视为已知条件,分别进行演绎,再有机地结合起来,导出所需要的条件.

例1 要使函数f(x)=g(x)·2x+12x-1为奇函数,还需要增加什么条件?

分析与解 可以考虑从特殊到一般地思考方式,f(1)=3g(1),f(-1)=3g(-1),要使f(-1)=-f(1),只需g(-1)=g(1),于是猜想,还需要条件:g(x)是偶函数;也可以从分析f(x)的结果入手,f(x)是两个函数g(x)和h(x)=2x+12x-1的乘积,现已知f(x)是奇函数,若再知h(x)的奇偶性,则g(x)的奇偶性易判断.

方法1 因f(x)=g(x)·2x+12x-1,f(-x)=g(-x)·2-x+12-x-1=-g(-x)·2x+12x-1,则要使f(-x)=-f(x),只需g(-x)=g(x),因此要使f(x)为奇函数还需要增加条件:函数g(x)是偶函数.

方法2 令h(x)=2x+12x-1,则h(-x)=-2-x+12-x-1=-h(x),于是函数h(x)为奇函数.又f(x)=g(x)·h(x),故要使f(x)为奇函数,还需要增加条件:函数g(x)是偶函数.

二、结论探索型问题

结论探索型问题:这类问题给出条件,没有指出明确的结论(或结论本身不明确)或者只给出问题对象的一些特殊关系,需要探求出一般规律.解这类问题往往要求解题者充分利用已知条件或图形特征,进行大胆猜想,透彻分析,从而发现规律,获取结论.此类问题着重考查学生分析、综合、归纳、推理等多种能力.

结论探索型问题的解题策略是,有时可以根据定义和定理,直接进行演绎和推理得到结论;有时可以通过具体到抽象、特殊到一般的归纳得到结论,再加以证明;有时需通过类比、联想,估计出结论,再加以证明;有时结论需在两种可能中选取,可采取反证法的思想来确定;有时可用分类讨论法、数形结合法、命题转换法等.对于没有确定的结论情形,应

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