小议三类探索性问题的解法

周源

【摘要】探索性问题是高考热点之一，本文主要将探索性问题分为条件探索型、结论探索型、存在探索型三大类，并结合例题对每种类型问题的解题策略进行分析.旨在对各种纷繁的探索性问题进行归纳、整合，帮助学生提高探索性问题的解决能力与水平.

【关键词】探索性问题；类型；解题策略

探索性问题从高层次上考查学生分析问题和解决问题的能力，这类问题往往以新颖的形式出现，知识覆盖面较广，综合性较强，具有相当的难度和深度，能有效地训练学生思维，考查学生的数学素养，培养学生的创新精神.解这类问题需要通过分析判断、演绎推理、联想转化、尝试探求、猜想验证等多种思维形式去寻求解题途径.

探索性问题一般包括以下三种类型：

一、条件探索型问题

条件探索型问题：这类问题给出问题的结论后，需要完备条件或探求出使问题结论成立的充分条件.解这类问题往往要求解题者变换思维方向，开拓逆向思维.将题设和结论视为已知条件，分别进行演绎，再有机地结合起来，导出所需要的条件.

例1 要使函数f（x）=g（x）·2x+12x-1为奇函数，还需要增加什么条件？

分析与解 可以考虑从特殊到一般地思考方式，f（1）=3g（1），f（-1）=3g（-1），要使f（-1）=-f（1），只需g（-1）=g（1），于是猜想，还需要条件：g（x）是偶函数；也可以从分析f（x）的结果入手，f（x）是两个函数g（x）和h（x）=2x+12x-1的乘积，现已知f（x）是奇函数，若再知h（x）的奇偶性，则g（x）的奇偶性易判断.

方法1 因f（x）=g（x）·2x+12x-1，f（-x）=g（-x）·2-x+12-x-1=-g（-x）·2x+12x-1，则要使f（-x）=-f（x），只需g（-x）=g（x），因此要使f（x）为奇函数还需要增加条件：函数g（x）是偶函数.

方法2 令h（x）=2x+12x-1，则h（-x）=-2-x+12-x-1=-h（x），于是函数h（x）为奇函数.又f（x）=g（x）·h（x），故要使f（x）为奇函数，还需要增加条件：函数g（x）是偶函数.

二、结论探索型问题

结论探索型问题：这类问题给出条件，没有指出明确的结论（或结论本身不明确）或者只给出问题对象的一些特殊关系，需要探求出一般规律.解这类问题往往要求解题者充分利用已知条件或图形特征，进行大胆猜想，透彻分析，从而发现规律，获取结论.此类问题着重考查学生分析、综合、归纳、推理等多种能力.

结论探索型问题的解题策略是，有时可以根据定义和定理，直接进行演绎和推理得到结论；有时可以通过具体到抽象、特殊到一般的归纳得到结论，再加以证明；有时需通过类比、联想，估计出结论，再加以证明；有时结论需在两种可能中选取，可采取反证法的思想来确定；有时可用分类讨论法、数形结合法、命题转换法等.对于没有确定的结论情形，应