用参数的思想分析直线系方程和曲线系方程

李念祖

在中学数学中经常会遇到具有共同性质的直线或曲线，我们从它们的共同属性出发，引入合理的参数来解决问题，这样可以简化运算，起到事半功倍的效果.

具体通过以下几个例子来分析.

例1 求与直线3x+4y-7=0垂直，且在y轴上的截距为-2的直线.

解法一 因为和直线3x+4y-7=0垂直，所以所求的直线方程是4x-3y+m =0（其中m是参数）.

因为直线过点（0，-2），将（0，-2）代入4x-3y+m=0，

所以直线方程是4x-3y-6=0.

分析 此解法先利用垂直的直线系方程设出方程，再将（0，-2）代入，使这道题变得简单易于理解，计算量也小.

解法二 因为“在y轴上截距为-2”，所以设直线方程为y=kx-2.

因为所求直线垂直于3x+4y-7=0，所以得k=43.

代入得所求的方程为4x-3y-6=0.

分析 此解法从平行的直线系入手，先得到直线方程为y=kx-2，再根据垂直条件得到k=43，这样做思维简单易于入手.

解法三 因为此直线过点（-2，0），用点斜式设直线方程为y+2=k（x-0），即y=kx-2，（斜率k是参数）.

因为直线垂直于直线3x+4y-7=0，所以k=43.

代入得到所求的方程为4x-3y-6=0.

分析 此解法先利用过已知点（-2，0）的直线系方程得y+2=k（x-0），再根据垂直条件得到k=43，此法也是一个不错的选择.

例2 求和直线3x+4y+2=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程.

解 因为直线平行于直线3x+4y+2=0，所以设所求直线方程为3x+4y+λ=0（λ为参数），所以在x轴、y轴的截距分别为-λ3和-λ4，所以12-λ3-λ4=24，解得λ=±24.

所求直线l的方程为3x+4y±24=0.

分析 此题是用了平行的直线系方程先设出方程，再根据三角形面积的计算得出参数的值，从而解决了问题，此法不但思路清晰，而且便于计算.

例3 对于任意的实数k，直线（3k+2）x-ky-2=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是