高中数学课堂优化教学例谈

2013-04-29 18:05陈英凯
数学学习与研究 2013年7期
关键词:二次方程对称轴实数

陈英凯

教学的目的是教师启发引导学生,让学生作出发现,通过发现获得新知.课堂教学是教师与学生在平等的地位上进行对话与交流.课堂上,教师着重探讨数学规律,使学生的思维得到启迪;在各个教学环节中,师生共同参与,教师充当配角,放开手来让学生当主角.教师不再是死记硬背、照本宣科,不再搞题海战术,注重思维过程的展现,在获取新知识的过程中开拓学生的思维.

一、课 例

(一)题目展示

在学习了“方程的根与函数的零点”知识内容后,上一节习题课,这节课只有一道题:如果关于x的方程x2-3x-m=0在区间\[-2,2\]上有实数解,求实数m的取值范围.

课堂上,老师大胆放手,给予学生们足够的时间,让同学们自己寻找答案.同学们经过自己的努力并与他人分享自己的成果.所得的答案大约有下面几个典型的思路与想法.

(二)各种思路与思想呈现

1.想法一:大部分同学的想法.优点:数形结合灵活,缺点:分类讨论时易出现错漏或重复.

令函数y=x2-3x-m,则二次函数的对称轴为x=32,随着m值的变化,函数的图像沿对称轴上下移动,结合函数的图像,符合题意的,可分三种情况来讨论:

(1)当二次函数的图像与x轴只有一个交点时,那么二次方程x2-3x-m=0有唯一的实数根,考虑到对称轴x=32在区间\[-2,2\]上,则二次方程唯一的实根一定在\[-2,2\]上,由Δ=(-3)2+4m=0,可解得m=-94为所求(如图1所示).

分类能做到不重不漏,既善于利用数形结合思想,又能结合方程根与函数零点之间的关系,用函数的观点解答方程的根的问题,是对上一节课内容的很好检验.

2.想法二:特点是对上一节课知识进一步加深理解,体会了函数与方程的联系,避开分类讨论,运用数形结合思想.

令y1=x2-3x,y2=m,由题意,关于x的二次方程x2-3x-m=0在区间\[-2,2\]上有实数根,可转化为两个函数y1=x2-3x与函数y2=m的图像在区间\[-2,2\]上有交点.因此,只需作出二次函数y1=x2-3x在区间\[-2,2\]上的图像,结合图像,就可得出函数y1=x2-3x在区间\[-2,2\]上的最值,则y1∈-94,10,所以,当m∈-94,10时,两个函数y1=x2-3x与函数y2=m的图像有交点.因此,方程x2-3x-m=0在区间\[-2,2\]上有实数根,m的取值范围为-94,10(如图4所示).

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