让数学思想扎根于课堂

叶育新

一、学情和教材分析

（一）教学目标分析

基础知识与基本技能分析：本节课的基础知识为平行四边形的面积公式，需要达到的目标要求是“理解”。本节课的基本技能是正确计算平行四边形的面积，需要达到的目标要求是“掌握”，可以将本节课的基础知识和基本技能方面教学目标表述为——理解平行四边形的面积计算公式，能正确计算平行四边形的面积，并解决简单的实际问题。

数学思想与活动经验分析：本课探究活动中蕴含——转化思想、归纳思想、变与不变的思想、对应思想以及符号思想。本课最主要的数学思想是“转化思想”与“变中有不变”思想，数学思想属于过程目标，需要达到的目标要求是“体验”。在数学活动经验方面，本节课在操作探索过程中，可以帮助学生积累“数格子”的经验，为后续图形面积的学习奠定基础，可以帮助学生积累图形剪拼的经验，为三角形和梯形面积的学习奠定基础，同时，还可以帮助学生积累归纳、推理等思维活动经验。因此，本节课可以将基本思想和基本活动经验方面的教学目标表述为——在平行四边形面积公式的探索过程中，体会转化思想和变中有不变的思想，积累数格、剪拼、归纳、推理等活动经验。

（二）学情分析

从知识层面来说，学生在三年下册已经学习过《面积和面积单位》，知道“物体的表面或封闭图形的大小”就是面积；在四年上册《平行四边形和梯形》这节课中，学生已经学过平行四边形的图形特征，知道“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”；在三年级下册，学生已经学习了《长方形和正方形的面积》，知道长方形和正方形的面积计算公式。从经验层面来说，学生经历过长方形和正方形的面积推导过程，积累了一定操作经验，比如学会用画垂线的方法画高，在方格纸上画平行四边形，平面图形拼组等。这些知识和经验为进一步学习平行四边形的面积奠定了基础。五年级学生以具体形象思维为主，具有一定的动手操作能力和抽象思维能力。因此，本节课应让他们动手实践，通过观察、比较、探究、推理，充分经历平行四边形面积公式的推导过程。

（三）教材分析

从教材编排来看，本节课的教学分三个主要步骤（详见教材）。

1.现实问题引入。从主题图中的两个花坛（一个长方形，一个平行四边形）引入一个实际问题：两个花坛哪一个大？从而提出如何计算平行四边形面积的问题。

2.用数格子法计算面积。教材安排同时数一个长方形和一个平行四边形的面积，意图在于暗示这两个图形之间的联系，为学生进一步探寻平行四边形面积的计算方法做准备。

3.探究平行四边形面积计算公式。通过学生动手操作，用割补的方法把一个平行四边形转化为一个长方形，找出两个图形之间的联系，推导出平行四边形面积的计算公式。

二、教学建议

（一）借助格子图体会转化思想

本单元编排平面图形的面积计算是以长方形面积计算为基础，以图形内在联系为线索，以未知向已知转化为基本方法开展学习。安排顺序如图1所示。

不难看出，“转化”是平行四边形面积公式推导的核心思想。在本节课中，如果不借助教师的提示或者教材的暗示，让学生独立地想到“转化”，是比较困难的。因此，人教版教材先通过数格子来计算面积，并特意安排了一个表格，教师可以在学生填完表格后追问“你发现了什么？”。学生发现，长方形的面积可以等于平行四边形的面积。这就为后面的图形转化和面积推导奠定基础。然后进一步提出：如果不借助数格子，能不能计算平行四边形的面积呢？

遇到新问题为什么懂得这样思考是思维模式问题。在本节课中，学生最难确立的就是图形转化的思路。那么，有没有更好的方法帮助学生确立这种思路呢？是由教师直接告诉学生？还是让学生自己顿悟？如果学生缺乏这样的前期学习经验，能否做到顿悟？苏教版的教材十分重视数格子图的呈现，可以为人教版的教学提供借鉴（如图2所示）。例1从比较方格纸上每组中的两个图形面积是否相等入手，引导学生把稍复杂的图形转化成相对简单的、熟悉的图形，我们可以看到，例1提供的素材不仅仅要求学生通过数格子来计算图形面积，学生还可以在数格子的过程中优化数格子的策略，通过图形的分割和平移，感悟割补的思路，为把平行四边形转化为长方形的探索活动提供思想孕伏。有了这种体验，例2（如图3所示）进一步提出：“你能不能把右图中的平行四边形转化为长方形呢？”借助格子图的背景，学生不难想到割补法。

体会数学思想最终的目的是帮助学生建立相对稳定的思维模式。笔者认为，为了帮助学生形成转化的思想，教师可以在课堂总结时对面积推导过程进行回顾和梳理，凸显转化的思想，并强调转化的重要性，为下一节课三角形的面积推导奠定基础。

（二）帮助学生积累剪拼的经验

明确了图形转化的思路后，对如何将平行四边形转变成长方形就显得尤为重要。在本节课中，学生想到用图形转化的思路推导平行四边形的面积公式属于思维活动经验，而将平行四边形剪拼成长方形则属于操作活动经验。如果学生不能顺利地将平行四边形剪拼成长方形，就会给后面的面积推导造成障碍。有的教师为了扫除学生探究过程中的障碍，帮助学生顺利地通过操作得出结论，设计了过于具体的操作要求。例如，（1）拿出一张平行四边形纸片，（2）画出平行四边形的高，（3）用剪刀沿着高剪开，（4）拼成一个长方形。这样的数学学习，由于学生受到事先设计好的程序的束缚，而使得整个操作活动缺乏创新性和生成性，缺乏必需的个性体验，但是，如果教师不提示学生沿着高剪开，会有多少学生会顺利地进行剪拼呢？苏教版的做法是借助格子图的直观暗示（如图4）。观察格子图，学生不难想到可以沿着高剪开，再平移。在出现两种不同剪拼的方式后，教师可以追问一句：“为什么要沿着高剪开呢？”其实，借助图形可以发现，沿着高剪开会产生直角，而形成长方形需要直角，这样，通过观察和尝试，学生就可以顺利地进行剪拼。

当然，如果大部分学生学习能力强，则可以放手让学生自己剪，在呈现不同的剪拼结果（有的拼成长方形，有的拼成平行四边形）教师可以让学生介绍剪拼过程，然后追问：“怎样剪才能拼成长方形，一定要沿着高剪开吗？为什么？”（可以借助上述课件演示说明）这样，学生既明白剪拼的方法，又明确了剪拼的原理，有效积累了图形剪拼的活动经验。

（三）关注探究过程中的合情推理

合情推理一般分为类比推理和归纳推理。在课堂教学中，某些概念、法则、规律等的阐述与探索，常常是抓住两类知识的连接点，借助类比推理，由旧知过渡迁移到新知。这种思维方式比较符合儿童从具体感知向抽象思维过渡的认识规律。但是这种推理不一定都是正确的。比如在学习了长方形、正方形的面积之后学习平行四边形的面积，学生容易受到“长×宽”或“边长×边长”的影响，猜想平行四边形的面积可能等于邻边相乘。笔者认为，可以借助长方形框架解决这个问题，以下是一位教师的课堂精彩片段。

师：请同学们仔细观察老师手上的平行四边形。（利用活动模型演示将平行四边形逐渐拉扁）

师：在刚才的过程中，图形的周长变了吗？为什么？

生：周长没变，因为平行四边形的底和高没有变。

师：面积变了吗？为什么？

生：面积在慢慢地变小。

师：现在你觉得用相邻的两条边相乘能不能算出平行四边形的面积呢？为什么？

生：不行，因为平行四边形的两组底边没有变，而它的面积却在慢慢变小，所以用邻边相乘的方法计算平行四边形的面积是错误的。

师：（拉动平行四边形模型）？摇想一想是什么的变化引起了平行四边形面积的变化呢？

生：是高的变化引起的。

师：我们能不能把平行四边形转化成学过的图形来说明呢？

在学生思考、讨论的基础上，教师结合课件的剪拼演示，引导学生推导出计算方法。

上述片段教学中，在拉动长方形框架变成不同的平行四边形且面积越变越小的过程中，让学生直观感受到在周长不变的情况下，平行四边形的面积大小一定与高有关。当然，也可以在高不变的情况下，通过底越切越短，面积也随之越变越小的演示，教师追问学生，是什么的变化引起了面积的变化？让学生得出猜想：平行四边形的面积大小与它的底和高都有关系。因为长方形的面积=长×宽，所以想到平行四边形的面积（有可能）=底×高。事实上，数学的猜想和验证是类比推理的重要载体，教师在教学过程中应鼓励学生大胆猜想，不简单否定学生的错误想法，启发和引导学生对猜想进行科学验证，充分经历数学思考的过程，这样做有利于发展学生的合情推理能力。

合情推理的另一种形式是推理。归纳推理是从已有的事实，包括定义、公理、定理等出发按照规定的法则，包括逻辑和运算证明结论。在经历了以上类比推理后，教师可以引导学生通过实际操作，把平行四边形转化为长方形，引导学生借助以下问题完成归纳推理的过程：（1）是不是任何一个平行四边形都能剪拼成长方形？（2）平行四边形转化成长方形后它的面积有没有变化？（3）拼成长方形的长与原来平行四边形的底有什么关系？（4）拼成长方形的宽与原来平行四边形的高有什么关系？

（作者单位：福建省福州市钱塘小学）