新课标下尺规作图教学的思考与探讨

梁素婷

摘 要：数学新课程标准对尺规作图的教学内容和要求都做了相应的调整，因此如何把握新课标动向是中学数学教师十分关注的问题。本文通过对照新旧课标在尺规作图方面的变化，结合中考情况，从三个方面做了深入的探讨。

关键词：尺规作图；化繁为简；变式训练；一题多解

数学新课程标准对尺规作图的教学内容和要求都做了一些调整。对于这种要利用工具和动手操作来解决问题的教学，如何把握新课标的动向？学生应该掌握到什么程度？教师应该教什么？怎样训练才高效？这些问题是大家共同关注的。本文通过对照尺规作图在新旧课标中的变化，结合中考试题，以及多年的教学实践，对尺规作图教学进行了深入的思考和探讨。

一、细读新课标，明确要求

在教学中要认真研读新的课程标准，更多地关注调整部分，并在教学上做到同步增减。下面是新旧课程标准的对比：

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通过对比，可以看出新课标更注重学生利用图形语言表达数学解题的过程与方法，今后尺规作图教学更应注重利用作图痕迹展示解题的过程与方法，利用数学语言（符号语言、图形语言及文字语言）进行表达和交流，提高数学语言的应用能力。

二、夯实基础，化繁为简

要学好尺规作图，不但要会利用作图工具并选择合适方法，还要严谨、规范地作图。但在实际操作中，常存在以下问题：基础作图不扎实，不理解作图原理或不懂得利用工具作图；没有构建数学模型的解题习惯，导致题目稍有变化就无从下手。下面就这两方面谈谈如何突破。

1.夯实基础

教师要让学生熟练掌握5种基本作图方法。

基本作图1：作一条线段等于已知线段。

基本作图2：作一个角等于已知角。

基本作图3：作角的平分线。

基本作图4：作线段的垂直平分线。

基本作图5：过一点作已知直线的垂线。

以上是学生必须掌握的5种基本作图，是尺规作图的基础。不但要明白作图的步骤，还要明白作图的原理和应用。

例1：基础作图（2012河北省中考题）如图1点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，弧FG是（ ）

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A.以点C为圆心，OD为半径的弧

B.以点C为圆心，DM为半径的弧

C.以点E为圆心，OD为半径的弧

D.以点E为圆心，DM为半径的弧

分析：同位角相等，则两直线平行，所以在射线OB上作∠NCB=∠AOB（基本作图1），从而得答案D。

2.化繁为简

初中阶段的数学知识体系是由一个个既独立又相互联系的数学模型构建起来的。复杂数学问题可以先转化为多个简单的数学模型，再利用这些数学模型来解题。通常，复杂的尺规作图题都可以分解为5种基本作图来解决。

例2：纯粹的尺规作图（2012山东省青岛市中考题）已知：线段a，c，∠α.求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α.

分析：依题意得草图2，先用基本作图2作∠ABC=∠α，再用基本作图1在角的两边截取BC=a，AB=c，然后连接，得△ABC（图3）；

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由此可见，这类纯粹尺规作图是由各种基本作图组合而成的，解题的关键在于根据已知条件画出草图，然后按题意分解为几个基本作图进行解答。

例3：附生活背景的尺规作图（2011年重庆中考题）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求①音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且②到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示.请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置。（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹。）

分析：（1）依题意画出草图（图4）；（2）由条件①得：作AB垂直平分线MD，则有：MA=MB；（3）由条件②得：以点C为圆心AD为半径作圆，则有：MC=AD=AB（图5）；（4）综合得：AB垂直平分线与以点C为圆心AD为半径所作圆的交点即为M。

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综上所述，尺规作图的解题关键是把问题分解为若干个简单数学模型，并逐一作出符合各个模型公共要素的几何图形。在教学中，应向学生强调要画出符合题意的草图，这有助于数学模型的分解，而保留作图痕迹，是判断尺规作图理据是否正确的依据。

三、摆脱题海，高效训练

随着中考对学生能力要求的逐年提高，题海训练的功效明显下降。对初中尺规作图教学而言，大量重复训练，难以提高学生的解题能力。而通过变式训练与一题多解，能有效提高学生的解题能力，达到事半功倍的效果。

1.变式训练

所谓变式训练，是指使问题的条件或形式发生变化，而本质特征却不变的训练。变式训练能让学生更好地建立数学知识体系和熟悉数学解题方法。

例4：（新人教版八年级上册P80例1）如图6，已知△ABC和直线，画出△ABC关于直线的对称图形。

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变式1：（2008年广州中考题）如图7，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点，且点M的坐标是（1，2）。（1）略；（2）略；（3）利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）。

分析：针对原题有两个变化：

①条件：三角形变为线段，对称轴旋转了一定角度。

②背景：添加了网格背景。

变式2：（2013年广州市中考数学科第20题）如图8，已知四边形ABCD是平行四边形，把沿对角线BD翻折180°得到。（1）利用尺规作出（要求保留作图痕迹，不写作法）；（2）略。

分析：改变了原题的提问方式，将直接提问（求作轴对称图形）变为间接提问（求作三角形沿自己的某条边翻折180°后的图形）。

对于“换汤不换药”的变式训练不能只解决一个问题，而要解决一类问题，以实现“以精胜多”，让学生走出题海。

2.一题多解

同一道数学题，学生掌握的知识越多，解决问题的方法和途径就越多。通过充分联系所学知识，用多种方法解题，能使知识得以“内化”，对知识的理解和掌握更全面和深入，从而提高学生分析和解决问题的能力。

例5：（引用上题：2013广州市中考数学科第20题）

分析1：用全等三角形知识解决。

解法一：如图9，分别以点B、D为圆心，以线段AB、AD的长为半径作弧，两弧交与点A′，连结A′B 及A′D，则△A′BD为所求（依据：SSS）。

解法二：如图10，作∠FBD=∠ABD， ∠NDB=∠ADB，射线 BF、DN交点为A′，则△A′BD为所求（依据：ASA）。

解法三：如图11，作∠FBD=∠ABD，在射线BF上截取BA′=BA， 连结A′D，

则△A′BD为所求（依据：SAS）。

分析2：用轴对称知识解决。

解法四：如图12，用尺规过点A作垂线AM⊥BD于M，截取线段A′M=AM，

连结A′B及A′D，则△A′BD为所求。

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由此可见，通过一题多解训练，既能使学生熟练运用各种知识、开拓解题思路，又能通过比较，灵活地选择最合理、简捷的解题方法。实践证明，一题多解比单纯的题海训练要高效。

在中考数学中，尺规作图都会有所体现，它贴近生活、题型新颖、方法多样，说明其在初中数学中的重要性。通过尺规作图的教学和训练，能对学生进行“转化思想”“建模思想”等数学思想方法的渗透。另外，尺规作图是一种由学生实际执行的操作，具有不可代替的直观性和实操性，在强调“猜想—操作—探究—验证—得出结论”的今天，尺规作图理应得到足够的重视，并加强相关教学研究。