解答题专题强化训练（一）

1. 设函数f（x）=cos2x-4π3+2cos2x.

（1） 求f（x）的最大值，并写出使f（x）取得最大值的x的集合；

（2） 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B+C）=32，b+c=2，求a的最小值.

2. 如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M、Q分别为PC，AD的中点.

（1） 求证：PA∥平面MBD；

（2） 试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

3. 如图1，相距为1千米的两平行河岸上有村庄A和供电站C，村庄B与A，C的直线距离都是2千米，BC与河岸垂直，垂足为D.现要修建电缆线路，从供电站C向村庄A、B供电，修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/千米、4万元/千米.

（1） 已知村庄A与B之间原来铺设有电缆，但这些电缆需要改造才能使用，改造费是05万元/千米.现决定利用原有的电缆修建供电线路，并要求水下电缆的长度最短，试求该方案总施工费用的最小值；

（2） 如图2，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE，EA，EB.若∠DCE=θ0≤θ≤π3，试用θ表示出总施工费用y（万元）的解析式，并求y的最小值.

图1图2

4. 已知抛物线x2=4y的焦点是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）一个顶点，椭圆C的离心率为32，另有一圆O圆心在坐标原点，半径为a2+b2.

（1） 求椭圆C和圆O的方程；

（2） 已知M（x0，y0）是圆O上任意一点，过M点作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，求证：l1⊥l2.5. 已知函数f（x）=ln x，g（x）=32-ax（a为实数）.

（1） 当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；

（2） 若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.718 28…）在区间12，1上有解，求实数a的取值范围；

（3） 证明：54n+160<∑nk=1[2f（2k+1）-f（k）-f（k+1）]<2n+1，n∈N*.（参考数据：ln 2≈0.693 1）

6. 已知数列{an}单调递增，且各项非负，对于正整数K，若任意的i，j（1≤i≤j≤K），aj-ai仍是{an}中的项，则称数列{an}为“K项可减数列”.

（1） 已知数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，且数列{an-2}是“K项可减数列”，试确定K的最大值；

（2） 求证：若数列{an}是“K项可减数列”，则其前n项的和Sn=n2an（n=1，2，…，K）；

（3） 已知{an}是各项非负的递增数列，写出（2）的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由.