高等数学中极限思想的应用

夏立标

摘 要： 本文通过系统阐述极限理论在数学理论发展中的重要作用，说明了在高等数学教学中加强极限思想教学的必要性.

关键词： 高等数学 极限 极限思想

极限是高等数学中的一个非常重要的概念，极限思想贯穿于高等数学的各个部分.因此，理解极限概念所蕴涵的数学思想方法，对掌握高等数学中的其他概念有很大的帮助.

纵观数学的发展史，当初牛顿、莱布尼兹在创立微积分时取得了极其重要的创造性的成果，但由于缺乏清晰严格的“极限”和“无穷小”的概念，未能把微积分建牢固的基础上.之后数学界展开了一场长达十多年的关于微积分奠基问题的大论战.通过这场论战，大批数学家对微积分基础概念做了深入探讨，促进了微积分理论基础的建设.正是由于极限理论的完善，微积分才取得最后的胜利.而微积分的主要理论基础是极限论，高等数学中的导数、积分、级数、敛散、甚至数学中最基本的实数概念都要以极限概念为基础来建立.理解了极限的思想方法，掌握了极限的基本运用，以及有关它的一些重要性质，有助于学生理解其他数学概念，把握不同数学概念之间的本质联系.下面我就高等数学中的几个重要概念所蕴涵的极限思想作分析，以供教学参考.

一、导数的概念

导数概念不是数学家凭空想象出来的，而是从解决客观实际问题的过程中概括抽象出来的.要了解导数概念所蕴涵的数学思想方法，我们还是通过导数概念的引入来探讨.

几乎所有高等数学教材关于导数概念的引入都是通过求物体运动的瞬时速度和曲线的切线斜率.两个例子，虽然意义不同，但分析问题、解决问题的方法则是相同的，取得结论的方式也是一致的.它们都是刻画一个变量对另一个变量的变化快慢速度，也就是因变量对自变量的变化速度.舍弃这些例子各自的意义，抽出其共同的数学本质，即得到导数的概念：

称该级数收敛，S是该级数的和.若该级数的部分数列发散，则称该级数发散，此时该级数没有和.级数收敛的概念真正解决了无限小数是一个数理论问题.随着绝对收敛概念的建立，无限和运算结合律、交换律、分配率的成立范围在理论上才得以明确.同样借助极限，函数项级数一致收敛概念建立后，函数级数每项具有的分析性质，即连续性、可积性、可微性与其和函数间才建立了必然联系，无限和运算分别与极限运算、定积分运算、求导运算交换次序成为可能.

以上仅借助于导数的概念、定积分的概念和级数敛散性定义说明在高等数学中极限思想的应用.事实上，其他类型的极限概念可以通过类似法进行处理.在教学过程中，再辅以恰当的实例，使学生清楚、牢固地掌握极限概念、性质，以及相应的极限思想和方法.

参考文献：

[1][美]Walter Rudin.数学分析原理.机械工业出版社，2009.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.高等教育出版社，1993.

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