刍议抽象函数定义域的解题策略

陆修群

解决抽象函数定义域的问题，不少学生在高一新课的时候不能理解，即使到了高三总复习的时候也是经常出错，究其根本原因还是学生对函数的定义及此类题型的解法策略未能真正掌握。函数的定义是：一般的，设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f （x）和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，其中x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域。因此，不论函数是何种类型，求其定义域就是求函数解析式中使得函数有意义的独立的x的取值范围。当然，抽象函数的定义域也不例外。

一、已知f （x）的定义域，求复合函数f [g （x）]的定义域

例1.已知函数f （x）的定义域为[-2，3]，求f （2x-1）的定义域。

解：∵f （x）的定义域为[-2，3]，∴-2≤2x-1≤3，-≤x≤2。

故函数f （2x-1）的定义域为[-，2]。

解题策略1：若f （x）的定义域为a≤x≤b，则f [g （x）]括号中的g （x）与f （x）括号中的x地位等价范围相同，则a≤g （x）≤b，从中解得x的取值范围即为f [g （x）]的定义域。

二、已知函数f [g （x）]的定义域，求f （x）的定义域

例2.已知函数f （x2+2x）的定义域为[-2，2]，求函数f （x）的定义域。

解：∵-2≤x≤2，得y=x2+2x=（x+1）2-1∈[-1，8]

故f （x）的定义域为[-1，8].

解题策略2：若f [g （x）]的定义域为x∈[a，b]，则由a

三、已知复合函数f [g （x）]的定义域，求f [h （x）]的定义域

例3.已知函数f （x2+2x）的定义域为[-2，2]，求f （3x-5）的定义域。

解：∵-2≤x≤2，得y=x2+2x=（x+1）2-1∈[-1，8]

而f （x2+2x）的中的x2+2x与f （3x-5）中的3x-5范围相同，则-1≤3x-5≤8，则≤x≤。即f （3x-5）的定义域为[，]。

解题策略3：若f [g （x）]的定义域为x∈（a，b），则由a

四、已知函数f （x）的定义域，求运算型的抽象函数g （x）=f [g （x）]+f [h （x）]的定义域

例4.已知函数f （x）的定义域是[0，1]，求g （x）=f （x+）+f （x-）的定义域。

解：由条件，g （x）的定义域是f （x+）与x-）定义域的交集。

列出不等式组0≤x+≤10≤x-≤1？圯-≤x≤≤x≤？圯≤x≤，

故g （x）=f （x+）+f （x-）的定义域为[，].

解题策略4：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。若已知函数f （x）的定义域是（a，b），求y=f [g （x）]+f [h （x）]的定义域时，先求a

总之，抽象函数定义域的问题一定要从根本上弄明白，通常而言，定义域是指使得这个函数有意义的独立自变量的所有值组成的集；在解决具体问题时，要抓住函数内部的等价条件进行转化，进而利用不等式知识解决问题。

（作者单位 江苏省如东县丰利中学）