数学有效教学：从儿童的认知基础出发

荀步章

经常听到这样的公开课：新课开始，教师就针对课堂中最核心、最困难的问题发“问”，全班很多同学都举起了手，见到这种情况，教师迟疑了一下，并没有请学生回答，而是说：“通过这节课的学习，我们就可以回答这些问题了。”然后按照原先的教学预设讲了下去。从教的角度来看，各个知识点都讲到了，应该说“完成”了教学任务。从学的角度来看，教师没有考虑到学生已有的数学知识和经验，轻视了学生的认知基础，课堂教学时间没有得到充分利用，课堂效率大大降低。

一、 关注儿童认知基础——实施有效教学的根基

案例1：“认识分数”教学片断

为了突破教学难点——“单位‘1的理解”，教师展开了以下“课堂活动”：

教师邀请四名学生走上讲台做“活动”。

师：投影仪上放有一堆棋子，共4颗，平均分成四份。（甲拿走一份）你拿走了几颗？1份是这堆棋子的几分之几？剩下的是这堆棋子的几分之几？你是怎么想的？

接着，教师把棋子换成8颗，16颗，让学生继续思考。

比较：这三次平均分棋子的过程，什么在变，什么没变，为什么？

二、 掌握儿童认知基础——实施有效教学的前提

案例2：“小数乘整数”教学片断

出示买东西的情境图（图略）：

生：要求4块蛋糕一共多少元，用0.9×4，但这个还没学过。

师：0.9×4到底等于多少？你能联系已经学过的知识先想一想、算一算吗？

（学生独立思考后，在练习本上尝试计算。）

师：谁先来汇报？

生：0.9×4就是4个0.9相加，0.9+0.9+0.9+0.9=3.6（元）。

生：0.9元=9角，9×4=36（角），36角=3.6元。

师：咱们班的同学可真了不起，想出了这么好的办法来解决这个新问题。老师听出来了，你们在不知不觉中把新问题转化成了旧知识。

师：把新问题转化成已经学过的旧知识，这种方法就叫化归法。在今后学习数学时，经常会用到这种方法。那么求3瓶花用多少钱，怎么列式？

生：3.2×3。

师：对于3.2×3，请同学们也大胆地算一算，等于多少呢？

……

计算“0.9×4”，学生没有知识储备，教师创设了一个买东西的情境，根据学生已有的认知基础：元、角、分的互化，小数加法等，学生运用已掌握的知识进行巧妙转化，解决了一道小数乘法计算题。其间教师还适当渗透了数学中的化归思想，这种“化归”思想在学生今后解决新问题的过程中，会经常用到。教师在设计情境时，能够抓住学生的知识基础，使学生在情境与学习内容的结合中产生联想和共鸣，自然而然地领悟学习内容。由此可以看出：一个新概念的建立，一个新知识点的学习过程中，儿童原有的认知基础起着不可低估的作用。

三、 发展儿童认知基础——实施有效教学的保证

案例3：“三角形两边之和大于第三边”教学片断

师：通过课前预习，你们还知道了什么？

生：三角形两边之和大于第三边。

师：三根小棒分别长8厘米、4厘米、3厘米，这三根小棒能围成一个三角形吗？

生：能围成三角形。

生：不能围成三角形。

（学生中出现两种不同声音，并进行争论。）

师：对这个问题出现了两种不同的意见，怎么办？

生：拿三根小棒摆一摆，就真相大白了。

师：办法不错，在信封中老师帮你们准备了这样的三根小棒，同桌一起拿出来摆一摆。

师：实践出真知，这三根小棒真的围不成三角形。两边之和4+8=12厘米不是大于第三边3厘米吗？怎么围不成三角形呢？

（结论与实践发生了冲突，教室顿时安静下来，学生处于静思默想中，接着有同桌小声地交流，终于有学生发现并举手。）

生1：4+8=12是大于3厘米的第三条边，但4+3=7厘米却小于8厘米的第三条边，这两根小棒加起来不足8厘米，所以围不成三角形。

生2：我知道了，任意两条边的长度和大于第三条边，才能围成三角形。

生3：1号边加2号边大于3号边；2号边加3号边大于1号边；3号边加1号边大于2号边。

生：任意两条边的和要大于第三条边。

学生通过预习教材，对“三角形两边之和大于第三边”这一结论的理解是表面的、肤浅的。于是教师创设情境：用4厘米、8厘米、3厘米的三条线段，能围成一个三角形吗？据此，把儿童原生态的认知展现出来。课堂上出现了不同的声音，怎么办？让学生动手用小棒摆一摆，通过实践检验猜想是否正确。当学生的理解与实践产生冲突时，这就需要思考问题原因所在，4厘米加3厘米这两条边没有大于第三条边，学生通过互动交流、动手实践，领悟到“三角形任意两边之和大于第三边”的特征，思维也从肤浅走向深刻。每个儿童都有自己的生活经验和知识基础，面对同一个问题都有各自不同的思维方式，教师只有充分意识到这一点，才能最大限度地激发儿童的创造性。

四、 丰富儿童认识基础——实施有效教学的追求

案例4：“比的认识”教学片断

师：（出示下图）选出你认为最美的长方形。

几乎所有学生都选择了1号、3号和5号长方形。

师：其实，早在一千多年前，德国心理学家费希纳也做过类似的实验，而评选的结果与我们刚刚的评选结果不谋而合，这些长方形为什么会被大家公认为是最美的，其中的奥秘到底在哪儿呢？

师：想一想并交流，你觉得一个长方形美不美，主要跟什么有关？

生1：跟它的形状有关。

生2：最好不要太瘦，也不要太胖。

生3：长方形美不美与它的大小并没有什么关系。

生4：似乎跟长方形长与宽的倍数关系有关。

师：确实，长方形的美与它的长与宽之间的倍数关系有着密切的关系。同学们不妨试着寻找1号、3号和5号这三个长方形各自的长与宽的关系，看看最后的结果有没有什么规律？

学生试算，并交流。

一个美的长方形，它的宽与长的比值基本上都会保持在0.618左右，这就是数学史上著名的黄金比。

教师考虑到学生已有的认知基础，以学生为主体，致力于培养学生在学习过程中的自主性和参与性，设计具有探究空间的问题，引导学生自主探究。让学生“观察长方形——猜测谁最美”，让学生经历自主探究、合作交流的过程，其价值远不止其结果——获得的知识，而在于其过程——探究的过程带给学生身心的愉悦，带给学生对数学的情感。从儿童视角出发，联系“比”在现实生活中的实际应用，对教材进行了深加工，从而使“比的意义”这一抽象的数学知识深深植根于现实生活与美的土壤中，焕发出绚丽的教育魅力。

五、提升儿童认知基础，实施有效教学的目标

案例5：“角的分类”教学片断

师：（语调缓慢，若有所思）这个同学提出的问题，我觉得很有研究价值。同学们，你们还有哪些疑问？不妨提出来，我们一起来交流。

生1：0度的角与360度的角，我们在观察中如何去确定？

生2：书上讲，一条射线绕它的端点旋转一周，所组成的角叫周角。那么，如果旋转两周，是不是叫两周角？

生3：老师，有没有0度的角？

（课堂里有轻微的议论声。）

生：周角箭头是按逆时针方向标注的。能不能按顺时针方向标注呢？

生5：老师，书上讲小于90度的角称为锐角，那么0度的角是锐角吗？我觉得，这个定义不确切，应改为：大于0度小于90度的角，叫做锐角。

让学生带着问题走进教室，再让学生带着问题离开教室，应该是有效课堂的标志之一。教师留下一定的时间让学生质疑问难，时间虽短，但可以给学生一个提升自我的机会。上述案例中，学生提出的问题，是教师意想不到的，这些问题唤醒了学生新的思考。学生已经清楚的知识不必再讲，学生不清楚的、未知的，在教学中应作为关键点来突破，从而使教学实现了从课本、教师为中心到以学生的学习、发展为中心的转化。所以，教师只有了解了学生原有的知识结构，意识到学生已有的知识和经验的重要性，才能真正做到有的放矢，真正实现有效教学。