对一道数学课本例题的拓展探究

叶乔平

初中数学课本中的例题具有示范性、典型性和探究性，是课本的精髓。浏览近几年全国各地的中考数学试卷，很多试题来源于课本，“题在书外，根在书内”。因此，在中考复习中若能充分发挥课本中例题的潜在功能，适当加以拓展延伸，可以达到发展智力、培养能力的目的。现以苏教版九年级上册课本上的一道例题为例，谈谈本人的一些做法，以期达到抛砖引玉的目的。

原题（苏教版九年级数学上册）如图1，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C.（1）AD与BD是否相等？为什么？（2）OP与AB有怎样的位置关系？为什么？

拓展1：根据题设条件，请你至少写出四个不同类型的结论，并给予证明。

点评：将原题拓展为结论开放题，可写的结论很多。除了原题的两类结论外，还可以写角相等、全等、相似等结论，给了学生很大的思维空间，培养了学生的思维发散能力和综合分析能力。

拓展2：如图，在原题条件不变的前提下， （1）若∠APO=30°，点Q为⊙O上不与点A、B重合的点，求∠AQB的度数。（2）若⊙O的半径为5，在（1）的条件下，求PA、PB及劣弧AB所围成的图形的面积。（3）连接AD，求证：AD平分∠PAB.

分析：（1）先由切线长定理及题设可得∠APB=60°，进而得出∠AOB=120°，然后将点Q的位置分成在优弧AB上和劣弧AB上两种情况进行讨论；（2）先由切线的性质和锐角三角函数的定义求出切线长，然后根据直角三角形的面积公式和扇形的面积公式进行计算；（3）由切线的性质得∠PAD+∠OAD=90°，由AB⊥OP得∠CAD+∠ODA=90°.又OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，继而可得结论。再继续延伸，可得BD平分∠PBA，进一步可以得出点D是△PAB的内心的结论。

点评：本题在原题题设不变的基础上设计问题，以题组的形式训练了学生综合运用几何知识的能力。

拓展3：略加演变，原题可成下面一道中考试题：

如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长。

分析：（1）连接OB.根据垂径定理，可得∠POA=∠POB.又OA=OB，OP=OP，可证得△PAO≌△PBO，结合全等三角形的性质及切线的判定定理即可得出结论；（2）先证△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性质得出OA2=OD·OP，然后将EF=2OA代入关系式即得结论；（3）根据垂径定理及中位线定理，得AD=BD，OD=BC=3，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，进而求出cos∠ACB，再由（2）中的OA2=OD·OP求出PE的长。

点评：本题将原题的条件结论进一步拓展延伸，注重训练了切线的判定与性质、垂径定理、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、方程等知识，综合性较强，对学生的能力培养很有益处。

从以上探究中不难看出，将一道简单的课本例题进行拓展延伸，不仅复习了圆中的大部分知识点，而且促进了学生能力的提高。当然，这样的素材不仅仅限于课本中的例题，很多习题也值得教师们在复习中加以挖掘。

中考复习时间紧，任务重，通过对课本例、习题的延伸、变化、改造、深化，可以使得复习时既有熟悉感，又有新鲜感，让学生在兴趣盎然中加深对基础知识的理解与巩固。当然，课本例题、习题较多，我们也要抓住重点，从各个方面精心挖掘其潜力。只有这样，我们才能真正从题海战术中脱身出来，减轻学生负担，提高复习效率。