三角函数·正、余弦定理及其应用

一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）

1. 在[△ABC]中，三个内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，若[a=2，b=22，C=π12]，则内角[A]的值为（ ）

A. [π3]或[2π3] B. [π6]或[5π6]

C. [π3] D. [π6]

2. 在[△ABC]中，角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，若[a2=b2+bc+c2]，则角[A]等于（ ）

A. [2π3] B. [π3]

C. [3π4] D. [π6]

3. 三角形两条边长分别为2和3，其夹角的余弦值是方程[2x2-3x+1=0]的根，则此三角形周长为（ ）

A. [7] B. [7]

C. [5+7] D. [5+23]

4. 若[△ABC]的三个内角成等差数列，三边成等比数列，则[△ABC]是（ ）

A. 直角三角形

B. 等腰直角三角形

C. 等边三角形

D. 钝角三角形

5. 已知[△ABC]中，[a=4]，[b=43]，[∠A=30°]，则[∠B]等于（ ）

A. 30° B. 30°或150°

C. 60° D. 60°或120°

6. 已知[△ABC]的面积为[32，][AC=3，][∠ABC=π3]，则[△ABC]的周长等于（ ）

A. [3+3] B. [33]

C. [2+3] D. [332]

7. 下列判断中正确的是（ ）

A. [ΔABC]中，[a=7]，[b=14]，[A=30°]，有两解

B. [ΔABC]中，[a=30，b=25，A=150°]，有一解

C. [ΔABC]中，[a=6，b=9，A=45°]，有两解

D. [ΔABC]中，[b=9，c=10，B=60°]，无解

8. 已知[ΔABC]中，[AB=3，AC=1]，且[B=30]°则[ΔABC]的面积等于（ ）

A. [32] B. [34]

C. [32或3] D. [34或32]

9. 若[ΔABC]的三边[a，b，c]，它的面积为[a2+b2-c243]，则角[C]等于（ ）

A. [30°] B. [45°]

C. [60°] D. [90°]

10. 已知[a，b]为[△ABC]的边，[A，B]分别是[a，b]的对角，且[sinAsinB=23]，则[a+bb]的值为（ ）

A. [13] B. [23]

C. [43] D. [53]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知[△ABC]中，[A∶B∶C=1∶2∶3]，[a=1]，则[asinA]= .

12. 设[△ABC]的三个内角[A，B，C]所对的三边分别为[a，b，c]，若[△ABC]的面积为[S=a2-（b-c）2]，则[sinA1-cosA]= .

13. 如图，在[△ABC]中，[AB=AC=2]，[BC=23]，点[D]在[BC]边上，[∠ADC=75?]，则[AD]的长为 .

14. 给定下列命题：①半径为2，圆心角的弧度数为[12]的扇形的面积为[12]；②若[α]，[β]为锐角，[tan（α+β）=-3]，[tanβ=12]，则[α+2β=3π4]；③若[A]，[B]是[△ABC]的两个内角，且[sinA

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）[△ABC]中，己知[A>B>C]，且[A=2C]，[b=4，a+c=8]，求[a，c]的长.

16. （10分）已知[a，b，c]是[△ABC]中[A，B，C]的对边， 关于[x]的方程[b（x2+1）+c（x2-1）-2ax=0]有两个相等的实根， 且[sinCcosA-cosCsinA=0]， 试判定[△ABC]的形状.

17. （12分）已知[A，B，C]是[△ABC]的三个内角，且满足[2sinB=sinA+sinC]，设[B]的最大值为[B0].

（1）求[B0]的大小；

（2）当[B=3B04]时，求[cosA-cosC]的值.

18. （12分）设[△ABC]的内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]. 已知[b2+c2=a2+bc]，求：

（1）[A]的大小；

（2）若[a=2]，求[△ABC]面积的最大值.