由均值不等式联想到关于高中数学教学的思考

秦宏

一

均值不等式作为中学教学的基本内容之一，它是证明不等式及求各类最值的一个重要依据和方法，应用广泛，且与实际生活联系非常密切.但均值不等式在求取值范围时，只能限制一端而不能限制另一端.

比如：已知x>0，y>0且2x+2y=1，求■+■的最小值.

解：■+■=（■+■）×（x+2y）=3+■+■≥3+2■.

当且仅当2y■=x■，即x=■-1，y=1-■时取到最小值.

但若把此题改为：已知x>0，y>0且x+2y=1，求■+■的取值范围.此时使用均值不等式只能求出它的最小值，而它的另一端就没办法用均值不等式处理，可这样处理：

解：由题意得：2y=1-x

则■+■=■+■=■+■=■（0

设t=x+1（1

∴■+■=■=■=■

又∵2■≤t+■<3，∴0<-（t+■）■+3≤3-2■

■+■≥3+2■

又比如：已知正数a，b满足a+b=2，求ab+■的范围.

分析：可先求出0

错误解法：设ab=1（1

ab+■=t+■≥2

正确解法：设ab=t（0

设0

∵00

∴f（t■）-f（t■）>0，即f（t■）>f（t■）

∴f（t）在（0，1]上为递减函数

∴f（t）≥5

即ab+■≥5

因此笔者认为，在使用均值不等式求取值范围时，要合理地使用，如果在使用均值不等式求出取值范围一端时，不能知道另一端，就要避免均值不等式的使用.

二

基本不等式是高考的C级考查点，教师在教学中要非常重视，注意对基本不等式求最值的三个条件的把握.

1.发展学生的观察力，强化好奇心，培养学生勇于质疑的精神.观察是人们全面、深入、正确地认识事物的一种过程，是学生认识世界、增长知识的主要途径.常言道：“善观察者，可以见常人所未见；不善观察者，入宝山空手而回.”如科学巨匠牛顿、爱因斯坦和伟大的发明家爱迪生，不仅具有惊人的观察力，而且具有强烈的好奇心.教师要善于引导和启发学生从熟视无睹、习以为常的现象中发现新东西.这样做不仅能发展学生的观察力，强化学生的好奇心，而且能加强学生对知识的理解和数学思想方法的掌握.建立促进学生全面发展和教师不断提高的有效评价体系，加强教师自我反思、改进课堂教学行为是打造高效课堂的重要着手点.教师应对学生敢于大胆发问、敢于表达不同意见给予充分肯定，培养学生敢于探索、勇于质疑的科学态度.教师对待异议要虚怀若谷，要善于挖掘闪光点，捕捉瞬时评价时机，使用准确、规范的语言，恰如其分的动作表情来实施课堂评价.在重视对学生评价的同时，教师应在课后对自己的教学行为进行积极的反思，不断改进自己的教学行为.营造合作研究的氛围，同时把评价的标准交给学生，听取学生对学科教学的感受和意见.这样既能了解学生掌握知识的程度，发展学生的智力，又能及时解决学生中存在的问题，以达到整合提高的效果.

2.以“构造”为载体，通过建模训练，培养学生利用均值不等式的能力.素质教育的目的是“培养学生的创新能力与实践能力”，而应用能力的培养是实现创新能力与实践能力的重要途径.对于数学应用，不能仅看做是一种知识的简单应用，而是要站在数学建模的高度来认识，并按数学建模的过程来实施和操作，要体现数学的应用价值，就必须具有建立数学模型的能力.但模型的构造并不是一件容易的事，需要有足够强的构造能力，而学生构造能力的提高则是学生创造性思维和创新能力的基础，创造性地使用已知条件，创造性地应用数学知识.

3.在均值不等式教学中要通过一题多解和一题多变，培养学生的创新精神.在数学教学中，对例题的选择要有针对性，尤其要注意进行一题多解的训练，引导学生对原理进行广泛的变换和延伸，尽可能地延伸出相关性、相似性的新问题，以达到进一步发展学生创造性思维的目的.课本中的例题是知识的精华，具有典型性和示范性.但由于例题作为新知识的应用，往往其解题涉及的知识都与本节所学内容有关，学生也习惯与本节内容挂起钩来，抑制了思维的全面展开.长此以往，不利于学生创新精神的培养.教师在例题教学中应该敢想别人认为不可能的事，乐于新的尝试，善于独辟蹊径，注意新旧知识的相互联系，使解题达到简化、优化.

4.要让学生积极参与，要实施开放式教学.诺贝尔物理学奖得奖者李政道说：“学问，就是学习问问题，但是，在学校里学习一般是让学生学答，学习如何回答别人已经解决了的问题.”这段话发人深省，令人深思.学校主要教学“答”，提问的权利掌握在老师手中，我想这也是我国中学生缺乏创新能力的一个重要原因.因此，在教学方法上的创新，应突出体现在问题提出和解决方法上，即老师提出问题的方法和引导学生提出质疑的思维方法.教学的首要环节不是向学生展示知识点，而应是精心组织材料，创造性地设计问题，激发学生的参与意识，培养学生的探究精神和创新能力.学生较自由地思维和表达，在“心理安全”的条件下进行创新思维和想象.让学生在学习过程中敢于标新立异，在“心理自由”的条件下培养求异思维、聚合思维、逆向思维等多种思维方式.建立和谐的师生关系，营造创新的氛围.只有师生关系和谐，才能使他们的心理距离接近，心情舒畅，才有可能使学生的创新精神获得最大限度的表现和发展.陶行知先生说：“只有民主才能解放最大多数人的创造力，而且使最大多数人之创造力发挥到最高峰.”教师要以自己真诚的情感与学生交流.当一个学生能完成某项任务时，他就会感到自己有能力，能胜任，感到自尊、自信，会激起他要做得更多更好的愿望.因此，教师要尊重每一个学生，保护每一个学生的独创精神，哪怕是微不足道的见解，教师也要给予充分肯定，特别是对少数学习有困难的学生，更要加倍关注.要着力培养他们成功的心理、自信的心理.使每个学生相信自己能学习、会学习，“我能行”.也只有在和谐的课堂气氛中，学生才能树立起学习信心，体验到成功的喜悦.

高中学生具有一定的独立思考和分析问题、解决问题的能力，因此营造和谐课堂氛围，调动学生的主观能动性，利用课堂中例题的一题多解、一题多变，培养学生的思维能力和创造能力，使学生更好地发展自我，让课堂教学更符合新课程要求.