高中解析几何中的最值问题及其教学策略研究

姚振飞

摘 要： 解析几何是高中数学的重要内容，在教学过程中要注意对解析几何最值问题进行方法策略探析，实现优化解题的目的.一些解析几何最值问题的典型例题，总结归纳其教学策略，为高中解析几何最值问题提供常用的解答技巧与方法.

关键词： 高中解析几何 最值问题 教学策略

高中解析几何最值问题是数学中的一大难题，它所涉及的知识点、概念众多，且具有一定的综合性.根据经典的解析几何最值问题的例题，总结归纳简单的教学策略，能够促进解析几何问题的解决[1].

一、解析几何最值问题概述

高中解析几何中有关的最值问题，一般可以分成两大类.一是几何图形中的夹角，距离，以及面积的最值；二是直线与圆锥或圆形曲线的几何最值问题[2].这两类解析几何求最值的，虽然方向有所不同，但是同样都以解析几何的知识作为解题的载体，并且涉及函数、不等式、向量、数列等各种知识，包含的知识点也较多.对于高中数学课程及高考来说，是一个综合类的难点与热点，对于解析几何最值问题的解决，一般要综观全局，从细微处入手解决，它虽然没有固定的解题模式，但还是可以根据多种例题的分析归纳，总结出一些解决高中解析几何最值问题的方法策略.

二、高中解析几何最值问题的教学策略分析

1.利用曲线定义法教学策略解答

解析几何教学解题经验表明，灵活利用概念定义进行解题，是一把万能的金钥匙.尤其是解决直线与圆锥或圆形曲线的几何最值问题，利用曲线定义法更能达到事半功倍的效果.因为圆锥曲线定义明白的表述出动点与定直线、定点间距离不变的关系，巧妙利用这一关系，能够迅速地找到最值问题的突破口径.合理运用于实际的解析几何最值问题中，快速直观地解决圆锥曲线所涉及的最值问题.

例如典型的解析几何最值例题，已知直线l■和l■，分别为4x-3y+11=0和x=-1，同时抛物线y■=4x上有一动点P，求它到直线l■和l■间的最小距离和.根据曲线定义法，我们可以快速地画出该试题的示意简，了解到动点P到l■的距离，可以由P点向l■作垂直线，与横坐标相交于F点，其中PF的距离即为转化为P到l■的距离，同时也可看出距离最小和，则转化为求F到l■的距离，可以得出为d=■=3.

2.利用函数思想教学策略解答

在高中解析几何最值问题的教学过程中，将合适的变量转化为函数思想进行最值问题的解决是一个有效的策略.例如在2010年的福建高考题中，可以通过二次函数配方法快速解决解析几何中的最值问题.

其题意为：若点O和点F为椭圆■+■=1的中心和左焦点，点P是椭圆上的任意点，求■·■的最大值.而对于该题，可以巧妙地利用函数思想进行解答.首先，通过题意可以知F（-1，0），假设点P（x■，y■），则可以得到算式■+■=1，将之变化为y■■=3（1-■）.同时因为■=（x■+1，y■），■=（x■，y■），所以■·■=x■（x■+1）+y■■=■·■=x■（x■+1）+3（1-■）=■+x■+3，该二次函数对应的抛物线对称轴为x■=-2，可知-2≤x■≤2，因此当x■=2时，■·■的最大值为■+2+3=6.

同时，在高中解析几何求最值的教学过程中，要注意四边形面积公式S=■|AB||CD|sinθ的通用.这也是一种巧妙利用函数形式解决解析几何最值问题的重要途径.

3.利用基本不等式法教学策略解答

在高中解析几何的最值问题求解中，当所体现的函数关系式满足基本不等式使用的条件时，可以将其转化为利用不等式方法来进行准确解答.在这一解题过程中，要掌握好配凑的技巧，结合“一正二定三相等”的原则，共同进行解析几何的求最值.下面利用典型例题具体探究用不等式求解析几何最值的解答方法.

已知椭圆E：■+■=1（a>3）的离心率e=■，直线x=t（t>0）与曲线E交于M，N两个不同点，以线段MN为直径作圆C，圆心为C.问题：（1）求椭圆E的方程；（2）若圆C与y轴相交于不同两点A，B，求三角形ABC的面积最大值.而对于该题可以采用不等式解析几何求最值的方法进行解答，简单明了地获得最终答案.

对于问题1，从题面可知椭圆E：■+■=1（a>3）的离心率e=■，所以可得■=■，由此解答出a=2，也就能得出椭圆E的方程为■+■=1.而对于第二个问题，可以设圆心为C（t，0）（0

而根据上面已经得到的半径值，可以得出|AB|=2■=2■=■，从而算出三角形ABC的面积为：

S=■·t■=■×（■t）·■≤■×■=■，而且根据题意及不等式定义，当且仅当■t=■，即t=■时，等号成立，因此最后得到三角形ABC的面积最大值为■.

三、结语

以上从应用曲线定义法、函数思想转变法和基本不等式法三个方面探讨了高中解析几何最值问题求解策略.除了这些方法外，解决解析几何最值问题还可用截距法、向量法、平面几何法、方程法等，为解析几何最值教学策略提供了丰富的内容及技巧.

参考文献：

[1]吕宗银.解析几何中的最值问题[J].北京：高中数理化，2011（19）：6-8.

[2]陈彦琪.浅谈如何有效地解决解析几何中的最值问题[J].辽宁：中国数学教育，2010（4）：45-47.