Lyapunov函数在一类二阶系统中的应用研究

摘要：稳定性是一个系统正常运行的首要条件，设计和分析系统的一个关键就是对该系统进行判稳。Lyapunov稳定性理论对现代控制做出了贡献，而应用该理论时，一个关键问题就是构造Lyapunov函数。本文基于Lyapunov稳定定理，介绍了一种二阶系统的Lyapunov函数的构造方法，并列举了两个例子，通过实例证明了本文所提出的方法的有效性。

关键词：Lyapunov函数；稳定性；应用研究

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）09-0091-03

一、引言

稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件，它描述初始条件作用下系统方程的解是否具有收敛性，与输入作用无关。当系统采用状态空间描述后，俄国学者Lyapunov在19世纪末提出的稳定性理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适于多变量、非线性、时变系统，在现代控制系统的发展及应用中不断得到发展。

应用Lyapunov方法来判断系统的稳定性，其关键在于构造Lyapunov函数。文献[2]研究了一类常系数三阶线性系统的Lyapunov函数构造问题，给出了构造条件及构造方法，文献[3]和[4]在基于文献[2]的基础上，讨论了关于三阶非线性系统的Lyapunov函数构造问题，不同的是，文献[3]探讨的是关于系统的全局稳定性，而文献[4]研究的是部分变元的渐进稳定性稳定。关于常见的二阶系统的Lyapunov函数构造问题很少涉及，一般情况下均是依据设计人的经验，经过多次尝试后得到的，而并没有一般的原则与方法，本文在此方面做了一定的研究，针对一类特殊的二阶系统给出了一个简洁而有效的构造方法。

二、一类二阶系统的Lyapunov函数构造

稳定性的物理意义是指一个系统的响应是否有界，这就是Lyapunov稳定性数学概念的基础。它规定了三种情况，对于系统初值的一个扰动，如果系统响应的幅值是有界的，那么这个系统就是稳定的，反之就是不稳定。另外，如果系统的响应最终回到初始状态，则这个系统就叫渐近稳定的。因此，稳定、渐进稳定和不稳定，就是Lyapunov定义的三种情况。

作者在文献[7，8]中针对一类特殊的二阶系统，提出一种构造Lyapunov函数的方法。由于大部分实际系统在一定条件下可以近似等效为一个二阶系统，所以研究二阶系统的Lyapunov函数构造方法是具有现实意义的。

三、算法验证

四、结语

本文基于Lyapunov稳定性理论，提出了一种构造一类特定二阶系统的Lyapunov函数方法，只要系统满足本文所给出的几种条件，则应用本文的方法来确定其Lyapunov函数是方便的。文中通过两个实例对算法的可行性进行了验证。当然，本文所提出的方法仍然有较大的局限性，依然需要不断的探索与研究。

参考文献：

[1]胡寿松.自动控制原理[M].北京：科学出版社，2005.

[2]徐智.一类常系数三阶线性方程组部分变元渐进稳定的Lyapunov函数的构造[J].徐州师范学院学报（自科学版），1987，1（5）：26-32.

[3]王联，王暮秋.一类三阶非线性系统全局稳定的Lyapunov函数构造之分析[J].科学通报，1981，（12）：708-712.

[4]徐智，缪正忠.两类非线性三阶方程组部分变元渐进稳定的Lyapunov函数的构造[J].徐州师范学院学报（自然科学版），1988，1（6）：16-22.

[5]侯媛彬，嵇启春，等.现代控制理论基础[M].北京：北京大学出版社，2006.

[6]杨承志，孙棣华，等.系统辨识与自适应控制[M].重庆：重庆大学出版社，2003.

[7]Y.LI，D.SUN，W.LIU.Feedback control of traffic jam based on the full velocity difference car-following model[J].Journal of Information and Computational Science，2012，9（3）：719-730.

[8]李永福，孙棣华，崔明月.全速度差跟驰模型的Lyapunov稳定性分析[J].控制理论与应用，2010，27（12）：1669-1673.

基金项目：重庆邮电大学博士启动基金（A2012-26）

作者简介：李永福（1984-），男，博士，讲师，主要研究CPS，控制理论与应用等。