由“弹簧模型”考点展望高考

沈金城

弹簧是一种常见的物理模型，几乎每年高考都对这种模型有所涉及，且作为压轴题加以考查。它涉及的物理问题较广，有平衡类问题、运动的合成与分解、圆周运动、简谐运动、做功、能量、带电粒子在复合场中的运动，以及临界和突变等。为了使学生对这类问题有进一步的深入了解，现归纳整理如下，使学生在高考中不为求解这类考题而忧愁。

一、物理模型

轻弹簧是不计自身质量，能产生沿轴线的拉伸或压缩形变，故产生向内或向外的弹力。

二、模型力学特征

轻弹簧既可以发生拉伸形变，又可以发生压缩形变，其弹力方向一定沿弹簧方向，弹簧两端弹力的大小相等，方向相反。

三、弹簧物理问题

1.弹簧平衡问题：抓住弹簧形变量、运动和力、促平衡、列方程。

2.弹簧模型应用牛顿第二定律的解题技巧问题：

（1）弹簧长度改变，弹力发生变化问题：要从牛顿第二定律入手先分析加速度，分析物体运动规律。物体的运动导致弹力的变化，变化的规律影响新的运动，由此画出弹簧的几个特殊状态（原长、平衡位置、最大长度）尤其重要。

（2）弹簧长度不变，弹力不变问题：当物体除受弹簧本身的弹力外，还受到其他外力时，当弹簧长度不发生变化时，弹簧的弹力是不变的，也就是形变量不变，抓住这一状态分析物体的受力问题。

（3）弹簧中的临界问题：当弹簧的长度发生改变导致弹力发生变化的过程中，往往会出现临界问题。如“两物体分离”、“离开地面”、“恰好”、“刚好”……这类问题找出隐含条件是求解本类题型的关键。

3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可以据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解。同时要注意弹力做功的特点：W■=-（■kx■■-■kx■■），弹力的功等于弹性势能增量的负值。因此在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度求解。

四、实例分析

1.与物体平衡相关的弹簧问题

例1：如图，质量分别为m■、m■通过轻弹簧连接，在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动（m■在地面，m■在空中），力F与水平方向成θ角，则m■所受支持力N和摩擦力f正确的是（ ）

A.N=m■g+m■g-Fsinθ B.N=m■g+m■g-Fcosθ

C.f=Fcosθ D.f=Fsinθ

分析：根据题意有对两者用整体法，因在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动，得水平和竖直方向受力平衡，所以竖直方向N=m■g+m■g-Fsinθ，故A正确，水平方向f=Fcosθ，故C正确，答案为AC。

2.与动力学相关的弹簧问题

例2：如图，轻弹簧上端与一质量为m的木块1相连，下端与另一质量为M的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态.现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1、2的加速度大小分别为a■、a■。重力加速度大小为g，则有（ ）

A.a■=0，a■=g B.a■=g，a■=g

C.a■=0，a■=■g D.a■=g，a■=■g

分析：在抽出木板的瞬时，弹簧对1的支持力和对2的压力并未改变。对1物体受重力和支持力，mg=F，a1=0；对2物体受重力和壓力，根据牛顿第二定律a=■=■g。故答案为C。

3.与能量相关的弹簧问题

例3：如图（甲）所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t =0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间变化的图像如图3（乙）如示，则（ ）

（甲） （乙）

A.t■时刻小球动能最大

B.t■时刻小球动能最大

C.t■～t■这段时间内，小球的动能先增加后减少

D.t■～t■这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能

分析：小球在接触弹簧之前自由落体，碰到弹簧后先做加速度不断减小的加速运动，当加速度为零即重力等于弹簧弹力时加速度达到最大值，而后往下做加速度不断增大的减速运动，与弹簧接触的整个下降过程，小球的动能和重力势能转化为弹簧的弹性势能。上升过程恰好与下降过程互逆。由乙图可知t1时刻开始接触弹簧；t■时刻弹力最大，小球处在最低点，动能最小；t■时刻小球往上运动恰好要离开弹簧；t■～t■这段时间内，小球的先加速后减速，小球的动能先增加后减少。故答案为C。

4.应用型问题

例4：如图所示，在固定的足够长的光滑斜面上，一小物块用细绳通过光滑滑轮与轻质弹簧的一端相连，弹簧另一端固定在水平地面上，细绳与斜面平行，小物块在A点时弹簧无形变，细绳刚好伸直但无拉力。把质量为m的该小物块从A点由静止释放，它下滑■距离时经过B点速度最大，继续下滑■距离到达C点时速度恰好为零。斜面的倾角为θ，弹簧处于弹性限度内。（重力加速度为g）求：

（1）小物块刚被释放时加速度a■的大小和方向；

（2）小物块经过B点时弹簧弹力F的大小，以及到达C点时弹簧的弹性势能E■；

（3）若小物块的质量为2m，仍从A点由静止释放，求该物块运动的最大速度vm的大小（弹簧仍处于弹性限度内）。

分析：（1） 由牛顿第二定律得 mgsinθ = ma■①

a■ = gsinθ 方向沿斜面向下 ②

（2） 设小物块经过B点时细绳对物块的拉力为T，由平衡条件得

T = mgsinθ 又F=T F=mgsinθ ③

由机械能守恒定律得E■= mgLsinθ ④

（3） 设劲度系数为k，质量为m的小物块运动到B点时的弹簧伸长量

x■ =■ ⑤

由平衡条件得 kx■ = mgsinθ ⑥

设新平衡位置与A点的距离为x■，质量为2m的小物块运动到新平衡位置时速度最大，由平衡条件得

kx■ = 2mgsinθ ⑦

由⑤⑥⑦式得 x■=L=2x■，即新的平衡位置位于C点 ⑧

由机械能守恒定律得 2mgLsinθ = E■ +■×2mv■■ ⑨

由④⑨式得 υ■=■ ⑩