《几何概型》教学反思

蒋喜莲

摘 要：学生有初中的概率基础，对古典概型能够较好地理解，对相应的题目的处理也较恰当、正确。但是对于将试验结果推广到无限个之后，将概率问题转化为几何问题来处理就有困难了。

关键词：几何概型；反思；随机事件

对于大部分学生来说，如何顺利转化过来，准确地确定随机事件发生时对应的几何区域，确定其几何度量，是做题的关键，也是难点。经过第一课时之后，学生可以独立处理很多题目，但是仍在某些个题目上拿不准，归根结底，是对几何概型的本质没有准确理解。为了加深学生的理解，本课最初的教学设计是选了四组共10个小题，每组题目都是在原题基础上的变式，表面上看只是个别文字的差别，但是细微差别造成随机事件发生时对应的几何区域完全不同，几何度量的选择也不同，每一组都是一个对照，这对加深学生对几何概型本质的理解起到了辨别、深入、强化的作用。

一、本课内容

例1：在区间[0，10]上任意取一个整数x，则x不大于3的概率为： 。

变式：在区间[0，10]上任意取一个实数x，则x不大于3的概率为： 。

目的：区别古典概型与几何概型，二者有联系，均是等可能的，亦有区别，前者试验结果是有限个，后者是无限个，明确几何概型是古典概型的扩展与延续。

例2：等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在直角边BC上任取一点M，求∠CAM<30°的概率。

变式：等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在∠CAB内作射线交线段BC于点M，求∠CAM<30°的概率。

目的：这组题是难点，前者由于学生把握不准，计算后出现两个结果，原因在于随机事件发生时的几何区域选得不准确。为了让学生自己发现错误原因，并找到问题的本质所在，从混沌走向清晰，在不公布此题正确答案的前提下，引出第二题，让学生去思考。绝大多数学生能自己拨开雨雾，有恍然大悟的感叹，而且经过小讨论之后，能辨别两题之间的本质差别，印象深刻，能体会到成功的快乐。教师适当地借助多媒体演示问题本质，使学生理解得更透彻、深刻，使问题得到升华。

例3：△ABC的面积为S，在AB边上任取一点P，求△PBC的面积小于■S的概率。

变式1：△ABC的面积为S，在△ABC内任取一点P，求△PBC的面积小于■S的概率。

变式2：三棱锥D-ABC的体积为V，向其内部任取一点P，求三棱锥P-ABC的体积小于■V的概率。

目的：这组题从平面上扩展到空间立体，区别在于几何度量从长度，到面积，又到体积，是几何概型的常见类型。其本质是随机事件发生时的对应点所构成的区域分别为线段、梯形、棱锥，找到对应点，即可准确确定几何度量。

例4：A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连结，求弦长超过半径的■倍的概率是多少？

变式1：在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，则其长度超过该圆内接正三角形边长的概率是多少？

变式2：在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，则其长度超过该圆内接正三角形边长的概率是多少？

目的：此组题再次深化对几何概型本质的理解，其中变式2是个难点，学生经过之上的诸多练习，对此题稍加思考之后，亦能给出正确答案。

二、课后反思与收获

1.课后反思

解决几何概型问题的关键是确定几何度量，而几何度量的本质

在于随机事件发生时对应的点所构成的几何区域，确定了这些点构成的几何区域，其概率问题便迎刃而解。系统地看几何概型问题，又发现造成随机事件发生的几何图形为“点、线、面、体；角、射线、扇形区域”等等，这两条线的源头分别为“点、角”，点动成线，线动成面，面动成体，任何几何概型的问题都可归结到“点、角”上来，抓住这条本质，只需在具体问题中去寻找随机事件发生时所对应的点即可。

教师要对整个教材的知识有个系统的把握，这个要建立在一定积累的基础上，逐步加深对同一知识的认识和理解，同时对总结的规律进行修正和补充，几经循环，上升到更高层次的领悟。

积累了知识，抓住了本质，就该上升到数学思想的境界，从体现的思想中看待知识、看待问题、看待学生能力的培养，以思想的高度进行教学设计、课堂指导，犹如高屋建瓴一般，深入本质，切中要害。教师只需点拨一下，学生便如鱼得水，教师教起来轻松，学生学起来快乐，师生都在愉悦的氛围内，感受数学的美与乐趣，培养学生的能力与探索精神，教师也在这个过程中与学生一同成长。

2.收获

（1）重视学生能力的培养。培养学生的能力，以能力带题，抓问题本质，升华达到更高境界。按照能力将知识，题目分类，题量少而精，注重培养学生的数学思想与能力。这对教师的要求很高，必须具备一定数学修养的教师才能应对自如。平时的课堂上一点一滴地慢慢来，慢慢积累。（2）多媒体的使用。本次课上，我全部的课件都采用电子白板来演示，包括图形演示，以前也在用，通过这次课，更加熟练与灵活了，而且发现了不少电子白板有助于教学的优点。

三、对未来自己的要求

作为新教师，诸多的不足都是我日后改正之处，不奢求速度，但希望在每一次课上都能有个小亮点，都能有个不足之处被改正，在每次课后的反思中，都有一个值得肯定与不足之处被记录，日积月累，相信汗水与成长同行，付出与收获同在。

（作者单位 辽宁省大连市第八中学数学组）