浅析平面内两直线的位置关系

李艳花

【摘要】在同一平面内，两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合，相应的由直线方程组成的二元一次方程组的解有三种情况：有唯一解、无解、无数多个解.但在实际判定时，利用直线的斜率和截距更方便.同时在这里介绍另外一种更简洁、快速的判定方法.

【关键词】平面；直线；位置关系

初中平面几何中简单介绍了两条直线的位置关系，在此，我们通过两条直线的方程来研究它们的位置关系.

一、平行与重合

两直线平行就是两直线没有公共点，在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件（即判定定理和性质定理）转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况.

二、相交与垂直

两直线相交就是两直线只有一个公共点，垂直是相交的一种特殊情况，也就是说当两直线相交成90°角时两直线垂直.教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：

已知直线L1：y=k1x+b1，直线L2： y=k2x+b2.L1⊥L2等价于k1·k2=-1.

注：若k1，k2一个为0，另一个不存在，则L1⊥L2.

同样由于这种充要条件的应用需考虑两种情况，在此介绍另外一种新方法（利用系数比）.

三、示例分析

题型一判断两直线位置关系的有关题型.

判断方法一：利用解方程组的方法，两直线的方程组成方程组.

判断方法二：利用系数比.

例1判定下列各对直线的位置关系.

（1） 2x+4y-7=0与x+2y-5=0.（2） 3x-2y+3=0与2x+3y+5=0.

（3） x-3y+2=0与 2x-6y+4=0.（4） 2x+3y-1=0与4x-6y-3=0.

分析利用系数比来判断较简单.

解（1）∵21=42≠-7-5，

∴2x+4y-7=0与x+2y-5=0平行.

（2）∵3×2+（-2）×3=0，

∴3x-2y+3=0与2x+3y+5=0垂直.

（3）∵12=-3-6≠24，

∴x-3y+2=0与2x-6y+4=0重合.

（4）∵24≠4-6，∴2x+3y-1=0与4x-6y-3=0相交.

注：判断两直线的位置关系应注意有无特殊情况，即斜率是否存在，x，y的系数是否为零.特殊情况另行讨论.

分析（2）法一：先求出已知直线的斜率，再根据所求直线与已知直线垂直则斜率之积等于-1求得所求直线的斜率后利用点斜式求所求直线的方程.

法二：直接设所求直线的方程为4x-5y+m=0，再将点P的坐标代入此方程求得m即可.

解（2）设所求直线的方程为4x-5y+m=0.

∵点P（4，5）是所求直线上的点，

∴4×4-5×5+m=0，∴m=9.

即所求的直线的方程为4x-5y+9=0.

规律概括：凡是平行于直线Ax+By+C=0的直线都可设为Ax+By+m=0（m≠C），凡是垂直于直线Ax+By+C=0的直线都可设为Bx-Ay+m=0.

思考：正方形的中心为点（-6，3），它的一边所在直线为5x+12y+7=0，求其他三边所在的直线的方程.

提示：根据正方形的几何性质，其他三边所在直线中，有一条和已知直线平行，另外两边都与已知直线垂直，并且正方形的中心到两组对边所在直线的距离都相等，可考虑用已知直线平行或垂直的直线系来解决此题.此问题涉及平面图形，可联系几何图形本身所具有的性质，利用数形结合的方法使计算过程简化.

题型三已知两直线位置关系，求方程中的参数值的有关题型.

要对系数等于零和不等于零两种情况进行讨论.

①当系数全不为零时，可直接按前面所说系数比判断；

②当系数为零时，可利用图形直接判断.

当a=1或a=-3时两直线垂直.

规律概括：这一类问题，注意“且”和“或”的使用，要理解其含义，准确使用.这一問题极易忽略系数为零的情况，这又是一个犯“对而不全”的“错误”点.为了避免判断两条直线位置关系中的分类讨论，可采用判断两直线位置关系的充要条件来解题.

例5已知三条直线3x-y+2=0，2x+y+3=0，mx+y=0.不能构成三角形，求m的值.

分析前两条直线斜率不等，交于一点，直线mx+y=0若与其中一线平行或经过前两条直线的交点，则不能构成三角形.

综上所述，当m=-3或m=2或m=-1时，三条直线不能构成三角形.

规律概括：此类问题通常采用分类讨论的方法.

【参考文献】

[1]湖南省中等职业学校数学教材第二册.长沙：湖南科学技术出版社.

[2]全日制普通高级中学教材数学教案第二册（上）.延吉：延边教育出版社.

[3]专题攻略（平面向量与解析几何）.海口：南方出版社.

[4]四轮复习法详解手册.延吉：延边大学出版社.