开放探索性题的特征及解法

刘秀华

开放探索性试题是近几年来中考比较常见的开放型试题，也是中考数学试题中出现的一种新题型.探索性试题打破传统模式，构思新颖，使人耳目一新.这类题被认为是当前培养创新意识、创造能力的最富有价值的数学问题，加大数学探究题在中考命题中的力度，是应试教育向素质教育转轨的重要体现，对发挥学生主体性方面确实具有得天独厚的优势，是培养学生主体意识的极好材料.探索性试题可以考查学生的判断能力、发现问题、解决问题的能力，因此，教师在数学总复习时必须重视这种题型的分析与指导，教学中应注意这种开放型试题的训练，以培养联想、猜想、探索等能力.以下举例说明各类探索性问题的解法.

一、条件开放探索型

特征：条件探索型的基本特征是给出命题的结论，要求我们探索结论成立的条件.解法：是从所给的结论出发，执果索因，寻求结論成立时应具备的条件，进而给予解答.思维方式是变换思维方向，逆向思维.

二、结论开放探索型

这类题目就是在给定的条件下，探索相应的对象是否存在.它有结论存在和结论不存在两种情况.其基本解题方法是：假设存在，演绎推理，得出结论，从而对是否存在作出准确的判断.

结论探索型一般可分为猜想型、判断型和是否存在型.

1.猜想型

特征：条件明确，结论不唯一或不确定.

解法：猜想型需探索的结论要依据题设条件从简单情况或特殊情况入手进行归纳，大胆猜想得出，然后再进行论证.

例2观察下列等式：9-1=816-4=1225-9=1636-16=20……

这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来：.

策略小结此类“猜想型”开放探究题要求能够从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、比较、概括、猜想、探索出一般规律，解题的关键在于正确的归纳和猜想.

2.判断型

特征：这类问题结论不明确，解题方向不确定，结论可能不止一种，要求考生依据条件探索结论的存在性或多样性，或是给出某一结论，然后再说明其存在或不存在的理由.

解法：解题时通常先假设被探索的数学性质存在，并将其构造出来，再利用题设条件和数学结论将其肯定或否定.

例3说出函数y=x2+1与函数y=（x+1）2的共同点.

解①都是二次函数.②图像都是抛物线.③开口都向上.④与y轴均交于（0，1）点.

3.是否存在型

特征：给出命题的一定条件，求满足某种条件的数、点、图形是否存在.

解法：这类问题的特征是在题设条件下判断数学对象是否存在或成立，即在是与否之间作出选择.解法步骤是先假设数学对象存在或成立，以此为前提进行运算或推理.若推出矛盾可否定假设，否则给出肯定的证明.

例4如图，⊙O的直径AB为6，P为AB上一点，过点P作⊙O的弦CD，连接AC，BC，设∠BCD=m∠ACD，是否存在正实数m，使弦CD最短？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由.

简析假设存在正实数m，使弦CD最短，则有CD⊥AB于P，从而cos∠POD=OP∶OD，因为AB=6，所以cos∠POD=30°.于是∠ACD=15°，∠BCD=75°，故m=5.

策略小结：此类综合性开放题，需要学生综合题设条件，通过观察、比较、联想、猜测、推理、判断等探索活动逐步得到结论，有时需分析运动变化过程，寻找变化中的特殊位置，即“动”中求“静”，“一般”中见“特殊”，再探求特殊位置下应满足的条件，利用分类讨论思想，各个击破.

解法：假设存在→分析求解→去伪存真.

解题步骤：

假设存在由已知条件或法则推理或计算——

→推出结论无误或求出结果→肯定假设

推出的结论或求出的结果

→与已知或其他事实矛盾→否定假设

总之，开放探究题具有不同于封闭题的显著特点：（1）数学开放题内容具有新颖性，条件复杂，结论不定，解法灵活，无现成模式可套用，题材广泛，贴近学生实际生活，不像封闭性题型那样简单，靠记忆、套模式来解题.（2）数学开放题形式具有多样性、生动性，有的追溯多种条件，有的探求多种结论，有的寻找多种解法，有的由变求变，体现现代数学气息，不像封闭性题型形式单一的呈现和呆板的叙述.（3）数学开放题解决具有发散性，由于开放题的答案不唯一，解题时需要运用多种思维方法，通过多角度的观察、想象、分析、综合、类比、归纳、概括等思维方法，同时探求多个解决方向.（4）数学开放题教育功能具有创新性，正是因为它的这种先进而高效的教育功能，适应了当前各国人才竞争的要求.开放探究性问题变化无穷、生动活泼、灵活多样，一改学生死搬硬套的解题模式，消除学生模仿死记解题的习惯，从不同角度对问题的深思熟虑，寻求多样性的解题方法，所以在数学总复习时，必须重视这种题型的特征及解法.