在教学中渗透数形结合思想方法的几点尝试

袁野　杨学东

数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面.“数形结合”既是一种重要的数学思想，也是一种解决数学问题的有效方法，它是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析研究对象的代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题得到解决.因此在高中数学教学中应有效渗透数形结合思想，提高学生的思维能力和數学素养.下面，笔者结合教学实际，谈谈在教学中渗透数形结合思想方法的几点尝试.

一、在概念形成时渗透

概念的教学在我们教学中占的比重较大，如果学生对概念不理解或理解得不透彻，就不能很好地掌握定律、法则、公式等.但它的抽象性、枯燥性使得教学效果不尽如人意.因此，我们教师要结合学生的实际，选择行之有效的方法，帮助学生理解概念.借助直观的图形可以将概念教学趣味化、形象化，从而帮助学生在轻松、愉快的学习氛围中理解概念的形成过程.例如“函数的概念”一课，是继学习集合语言之后，运用集合与对应语言，在初中学习的基础上，进一步刻画函数概念.函数的概念应该是高中阶段最重要也是最抽象与难于理解的，就如何帮助学生从本质上理解函数的概念，分散难点，笔者展开如下教学：

首先创设如下教学情境：用计算机画出h=130t-5t2的图像，在h=130t-5t2的图像上任取一点P，测出P的坐标（t，h），然后拖动点P的位置，观察点P的横坐标t与纵坐标h的变化规律.

通过以上活动，使学生直观地体会到，函数中的函数值h的变化总是依赖于自变量t的变化，而且t的值唯一确定.

例2近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，下图曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979—2001年变化情况，南极上空臭氧层空洞的面积S是时间t的函数吗？

两个实例的引入不仅能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，特别是在信息技术环境下，可以使函数在数与形两方面的结合得到充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想.在研究函数时要充分发挥图像的直观作用，在研究图像时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.

二、在推导公式时渗透

让学生经历公式的推导过程是学生建构数学思想方法的重要环节.很多学生的解题活动完全建立在简单记忆和机械模仿上，没有真正掌握公式、定理的本质内涵.数形结合，能有效防止“生搬硬套”，帮助学生建构数学思想方法，从而能很好地促进学生联系实际，灵活解决数学问题.以下我以单位圆的应用为例，说说我是如何借助数形结合的想法推导诱导公式.

单位圆具有很好的对称性，通过对单位圆上对称点的坐标的关系来探究推出诱导公式.

让学生理解知识的来龙去脉、推导过程，数形结合地研究诱导公式，比一味地要求学生死记硬背效果要好得多.

三、在讲解习题时渗透

掌握数学思想的过程是一个长期积累、反复运用的过程.教师在处理习题时，可以根据教学内容渗透数形结合思想.

函数是中学数学的重要知识，在初等数学体系中起着主轴和支撑作用.一直以来，函数都是高考的热点和重点，主要是因为函数蕴含着丰富的数学思想方法，题目的设计可以不拘一格，多彩纷呈，在考查知识的同时，对考生思维的敏捷性、灵活性、深刻性等思维品质有较高的要求.

数形结合是重要的数学思想方法，对形的解读能力是高考的热点.从图形中解读什么？有些同学比较迷茫.建议从以下几个方面进行分析：定义域、值域、极值与最值、周期、对称、凹凸、单调、零点等.本例以两个简单函数为背景，通过图像的对称性进行分析，考查同学们的数形结合与转化能力.易错点是数形转化的等价性.难点是转化过程中的简单性原则.