导数的应用

冯涛

重点：导数的概念、导数运算法则、几何意义，用导数研究函数的单调性、极值、最值以及它与其他知识点交汇处的综合应用.

难点：导数的有关难点主要集中在两个层面：①概念理解层面，比如导数的极限定义，曲线“过一点”和“在一点”处的切线的区别，导数与函数单调性之间是充分不必要关系，可导函数极值点与导数之间是充分不必要关系，以及极值与最值的联系与区别，等等；②能力发展层面，在高考中导数对考生能力的考查是全方位的，它不仅要求考生熟练应用高中常见的数学思想方法，例如化归与转化、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想，而且还要掌握一些重要的解题策略，例如分离变量、构造函数、换元法、变更主元、多重求导等解题技巧.

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1. 曲线的切线方程

函数y=f（x）在点x0处的导数f ′（x0），就是曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率k，即k=tanα=f ′（x0）.

求过点P（x0，y0）的曲线y=f（x）的切线方程时，应先判断P（x0，y0）是否为切点，即点P是否在曲线y=f（x）上.

若P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的点，则切线斜率即为f ′（x0），代入点斜式方程y-y0=f ′（x0）（x-x0），即可求得过点P（x0，y0）的曲线y=f（x）的切线方程；若P（x0，y0）不是切点，即不是曲线y=f（x）上的点，则应设切点为（x1，y1），求出（x1，y1），再求切线方程.

2. 利用导数研究函数的性质

（1）利用导数研究函数单调性的步骤：①求导数f ′（x）；②在函数f（x）的定义域内解不等式f ′（x）>0或f ′（x）<0；③根据②的结果确定函数f（x）的单调区间.

（2）求可导函数极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′（x）；③解方程f ′（x）=0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′（x）在f ′（x）=0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f（x）在x0处取极大值；如果左负右正，那么f（x）在x0处取极小值.

（3）求函数f（x）在闭区间[a，b]内的最大值与最小值：①确定函数f（x）在闭区间[a，b]内连续、可导；②求函数f（x）在开区间（a，b）内的极值；③求函数f（x）在[a，b]端点处的函数值f（a）， f（b）；④比较函数f（x）的各极值与f（a）， f（b）的大小，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；⑤如果涉及实际应用问题还要将解答结果代入实际意义中进行检验.

特别值得注意的是，掌握以上几种典型类型问题的解法步骤只是解决好导数问题的基本能力，切不可生搬硬套，一定要结合试题具体问题具体分析，以下结合典型例题加以说明.

（3）设g（x）=（x2+x）f ′（x），其中f ′（x）为f（x）的导函数.证明：对任意x>0，g（x）<1+e-2.

思索 利用导数的几何性质求出函数的解析式及单调区间，将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题.