波利亚的数学解题思想在求解一元一次方程实际问题中的应用

欧翠荣

摘要：波利亚的解题思想集中体现在“解题表”中。本文以该思想为理论基础，以一元一次方程实际问题为载体，研究了在一元一次方程实际问题中，如何按照波利亚的解题步骤进行解题，即如何理解题目、如何拟定方案、如何执行方案、如何回顾反思。希望以此为基础，对初中方程的解题教学起到一定的借鉴意义。

关键词：波利亚；解题思想；解题表；一元一次方程

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）09-0007

一、波利亚的数学解题思想简介

波利亚认为：“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识。”在数学学科中，波利亚认为能力就是指学生解决问题的才智，这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性的创造精神。他发现，在数学上要想获得重大的成就或发现，就应该注重平时的解题。因此，波利亚曾指出：“中学数学教学的首要任务就是要加强解题的训练。”而这种“解题”并不同于“题海战术”，波利亚主张在解题教学中要善于选择一道有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入挖掘题目的各个侧面，使学生通过这一道题，就如同通过一道大门进入一个暂新的天地。他所提出的“怎样解题”表只是“题海游泳术”的纲领，他认为解题应该作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。

二、波利亚解题表简介

波利亚的解题思想集中体现在解题表上，该解题表主要分为四个部分，分别为理解题目、拟定方案、执行方案、回顾反思。具体的步骤及问题如下表：

三、一元一次方程实际问题教学的重要性

方程是贯穿中学数学教学的一条重要纽带，而一元一次方程作为最基础的方程，是教学的重点，也是教学的难点。掌握一元一次方程应用题解题方法是中学生学好方程的关键，也是学好数学的一个关键环节，能使学生在更深层次上理解数学，进而学好数学。刚刚从小学升入初中的学生，通过对应用题的学习，对数学概念的形成，数学命题的掌握，数学方法和技能的获得都将起到重大的作用。一元一次方程的应用是让学生通过审题，根据应用题的现实意义，找出等量关系，列出有关方程。一元一次方程的应用题，为学生初中阶段学好必备的代数、几何的基础知识与基本技能，解决实际问题起到启蒙作用，对其他学科的学习也将起到积极的促进作用。在提高学生解决问题能力，培养学生对数学的兴趣等方面有独特的意义。

如何能让学生对一元一次方程实际问题形成一种规范的解题思路，培养学生良好的解题习惯，拓展学生的解题思维呢？本文以实例为载体，以波利亚的解题思想为理论基础对该问题进行了研究。

四、波利亚解题表在求解一元一次方程实际问题中的应用

在接下来的研究中，本文选择了一道一元一次方程中常见的“相遇问题”作为研究的载体，希望对一元一次方程实际问题的解题教学起到“抛砖引玉”的作用。

例：甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经3小时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后乙经1小时到达A地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？

1. 理解题目

理解题目就相当于我们平时所说的审题，它是成功解决问题的前提。研究表明，善于解题的人用一半的时间来理解题目。因此，在解题中善于理解题目显得尤为重要。而理解题目包括对题目的表层理解和深层理解。表层理解表现为对问题的字面含义进行解释。而深层理解则要在此基础上抓住题目的关键信息，并能用自己的话解释题目的已知条件、分析出题目隐含条件、探索出从已知到未知的可能途径。那么，如何达到深层理解呢？可以根据波利亚解题表进行自我提示实现。

以上面的例题来看，在理解该题时，我们可以自我提问：这是一个什么类型的问题？题设是什么？结论是什么？题设与结论有什么联系？关键信息在哪里？我可以通过画图描绘题设与结论吗？

自我提示可以诱导我们发现这是一道和一元一次方程有关的“行程问题”，本题涉及路程、速度、时间三个基本量，它们之间有如下关系：速度=■。题目主要告诉了我们甲乙相遇的时间及相遇时二者所行驶的路程之间的大小关系，结论要求我们求甲乙的速度。可以画出草图帮助分析：

通过图1我们可以看出，甲乙分别从A、B出发，经过3小时在C点相遇，且有数量关系BC=AC+90。如果设其中一个的速度为x，则可以利用该数量关系结合速度=■求出另一个的速度，所以只需要设其中一个未知数即可。

此外，通过进一步挖掘题目信息，题目还有一个非常关键的信息就是相遇后乙经1小时到达A地，从图1来看就是乙从C到A所需时间为1小时，而乙从B到C的时间是3小时且匀速行驶，则说明BC=3AC。

2. 拟定方案

理解题目后，接下来要确定解决问题的策略，即拟定方案，它决定着问题解决的方向与成败。波利亚建议分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接联系；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题做出某些必要的变更或修改，如引进辅助元素。这两步可以通过自我提示实现。譬如，看着未知数、回到定义去、重新表述问题、考虑相关问题、分解或重新组合、特殊化、一般化、类比等，积极诱发念头、努力变化问题。

对于上面的例子，关键是寻找等量关系，如果设甲的速度为x千米/时，可以自我提问：可以通过哪一个关系建立等量关系？不难发现，根据理解题目得到的信息，可以得出AC=3x，BC=3x+90，而乙行驶BC这段距离所用时间为3小时，可以得出乙的速度为 ■千米/时。而乙从C到A所用的时间为1小时，故AC的距离用乙的速度和行驶时间可表示为：AC=■·1=■，从而可以建立等量关系3x=■，如下图2所示：

此外，根据理解题目得出的结果，发现BC=3AC，从而可以通过BC建立等量关系，可以得出等式3x+9=3·3x如下图3所示：

本题分别从AC和BC建立了等量关系，那么进一步自我提问：还可以从哪一段建立等量关系呢？不难发现还可以从AB建立等量关系，从而得到等式：■（3x+9）+3·3x=3x+（3x+9）

综合以上的分析，本题共得到了三种基本解题方案，分别为：

方案一：通过AC建立等量关系，3x=■

方案二：通过BC建立等量关系，（3x+9）=3·3x

方案三：通过AB建立等量关系，■（3x+9）+3·3x=3x+（3x+9）

对比三种方案，可以发现方案二最简单，故教师在进行解题教学的时候要善于引导学生挖掘题目中的隐含条件，发散学生的思维，寻求最简便的解决方案。

3. 执行方案

方案拟定之后，相当于解题已经完成了一大半，但是往往要检验这个方案是否是清晰合理及最简便的。不加以判断地执行这样的方案是愚蠢的，所以我们为了使自己确信每一个细节都符合这个框架，不得不细心检查，对每一步演算和推理进行检验，直到每一点都非常清晰，不再有任何可能隐藏的错误或含糊之处。诸如以下这些自我提示是有帮助的：解题的每一步理由充分吗？解题过程是否遵循数学原理或规律？解题的结果是否符合实际或原来想法？等。

以上例来说，往往很多学生容易得到方案一，这时大多数学生就开始解方程得到答案，忽略了检验和进一步思考这一步。这样，学生的思维得不到进一步的发展，题目如果稍加变化可能又不会做。这时候可以进一步自我提问，如：我得到的方案一的方程是最简单的吗？还有其他的方法吗？刚才是利用AC建立的等量关系，还可以通过其他的线段建立等量关系吗？BC和AC之间又有怎样的关系呢？通过这样不断的自我提问，就很容易得到方案二，而且发现方案二的方程更简单。

确定方案之后，下一步就是解方程，根据解出的结果就可以求出甲、乙的速度，这一步是比较容易的。

4. 回顾反思

对于解题来说，完成了解题过程，并不意味着一次“解题学习”活动的结束，对解题的真正学习是“解题回顾”。这好比采蘑菇，在你找到第一朵蘑菇后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的，用推广题的方法，可以解决更多的问题。众多研究表明，回顾与反思是数学思维活动的核心。但目前的普遍情况是，与前面解题步骤相比，“解题回顾”是最容易被忽视的阶段。

所谓解题回顾，不仅要回顾有关知识、解题方法以及理解题意的过程，而且更要回顾：一开始是怎样探索的，走过哪些弯路，产生过哪些错误，为什么会出现这些弯路和错误；是否还有其他解题策略；改变部分条件，会得出什么结论；这些结论或解题策略对于另外一些问题有什么意义等等。这些回顾能引领我们反思、评价整个解题结果与过程，能促使我们一题多解、举一反三，能启发我们总结归纳相关知识、解题策略等，并形成解题经验。

波利亚的解题思想启示我们，解题的关键在于理解题目，要学会深度挖掘题目的条件。此外，还要学会反思，真正做到“做一题，会一类”。

解题的目标不仅在于解题结果，解题本身是一个有意义的学习过程，深入挖掘波利亚解题表中蕴含的解题思想，在解题中学习解题，能促使我们学会解题，并最终解放题海战术。

参考文献：

[1] G·波利亚著，涂泓，冯承天译.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[2] 涂荣豹.数学解题的有意义学习[J].数学教育学报，2001（4）.

[3] 欧慧谋、黄红梅、欧贻丽.用波利亚解题表在解题中学解题[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2011（10）.

[5] 武海娟.初中方程教学研究[D].东北师范大学，2011.

（作者单位：广西柳城县民族中学 545200）