以数感促数学学习从数学学习中培养数感

李力 刘承

数感是一个抽象的概念，很难概括出数感的具体特征，给人的感觉就是“只能意会不可言传”。由于数感的这种特殊性，一些教师也感到数感作为课堂教学目标不好把握，在这样的背景下，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下称《课程标准（2011年版）》）对2001年开始实施的《课程标准（实验稿）》中的类似概念给予了清晰的界定。

一、数感的概述

“数感”一词的英文表述为“number sense”，可翻译为多种意思，如感觉、感官、理念、意识、领悟等。那么，反映在数学课程中的数感基本内涵究竟应该如何理解？

1、国内外学者关于数感的理解

Dantzig（1954）首次提出数感的概念，认为数感是对微小数量变化的一种直觉感受。

德汉尼等人（Dehanene，1997；Gallistel&Gelman，1992）提出人类成人的数字表征和数学思维部分是依赖于一种近似的数量感觉——“数感”。

桑德（Sowder，1988）把“数感”定义为一个具有良好组织的概念网络，它能够把一个数字与和它相关的操作具体而有效的连接起来，并以灵活而有创造性的方式解决数学问题。

台湾学者杨德清（Yang，2002，2003）把“数感”表述为：一个人对数字和运算的一般性的理解，以及处理那些包含数字的日常生活情景的能力。

大陆学者马云鹏和史炳星（2002）认为数感是一种主动地自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识，数感是人的一种基本的数学素养，它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实问题建立联系的桥梁。

2、数感在《新课程标准（2011年版）》中的表述

《课程标准（2011年版）》的提出：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”

从上述学者以及《课程标准（2011年版）》中关于数感的概述。笔者认为数感是透过数字掌握其背后的具体意义的一种对数的感悟，是经历运算理解数的基本特征的一种直觉能力，是在解决问题过程中灵活选取适当方法进行解决的能力。由此可见，数感是建立在现实生活中的，如：9+2=，当学生遇到这个计算时，就会在脑海中呈现出9个物品和2个物品相加，9个物品加1个物品凑成10个，10再加剩下的1，合起来就是11个物品，也就是说9+2=11；又或者说，将一个苹果分成两半，学生可能想到1/2、0.5、50%，这些分数、小数、百分数都是同一个具体情境以数的形式呈现的不同表示。

二、数感的要素构成

McIntosh（1992）从数、运算及两者产生和作用的情境来探讨数感，并从这三个范畴分别给出数感的组成成分，在将各成分做了细致的分类后，形成一个有组织的构架图。

（McIntosh等人，1992）

Hugh Scekett（1993），将数感定义为一个五成分的数学能力结构。（见表1）

数学教育家弗兰登塔尔将数的意义分为计数的数、数量的数、度量的数和计算的数几个方面。可见学生对于数的意义的理解从计数开始，到计算结束，贯穿于数的教学过程的始终，换言之，数的意义的理解处于数感培养中的基础地位，而且在数的关系、数的运算及数的问题解决等后续层次的教学过程中，也不断完善学生对数的意义的理解。《课程标准（2011年版）》将这种对数的感悟归纳为三个方面：数与数量、数量关系、运算结果估计。

三、以数感促进数学学习

1、巧用数感激发学习兴趣

《课程标准（2011年版）》中提到：“对数与数量建立起来的数感常常与实际情境关联，比如对数量单位的认识，提起教室的长度，应该想到米，提到两个城市的距离则应该想到千米。”

【案例】：

在教学二年级上册《厘米和米的认识》时（本文案例选取课时均出自2002年数学人教版义务课程标准实验教科书，下同），我是这样设计新课时的导入：有一个小朋友写了一篇日记，请同学们一起来帮他读一读：“我叫大雄，我的家有爸爸、妈妈和我三个人，我的身高是95厘米，妈妈的身高是160米，爸爸的身高是1米75厘米，我们一家三口人都喜欢到处旅游。我们曾经去过‘小蛮腰，‘小蛮腰是广州最高的建筑物，有450厘米高；还去过广州长隆动物园，看到有5米多高的长颈鹿。旅游让我看到了很多事物，我很喜欢旅游。”读完以后，让同学们思考：“你同意这个小朋友日记里面写的内容吗？你有什么话要对他说呢？”这样，同学们就会质疑日记里面一些与长度有关的数据，而这种质疑的产生，是建立在学生已有的数感基础上，他们往往对客体的长度与数有一一对应的感悟，从而引发学生想更深入了解长度单位的知识。

2、运用数感培养学生良好数学素养

数学素养是指人们通过数学教育以及自身的实践和认识活动，所获得的数学知识、数学技能、数学能力、数学观念和数学思维品质等方面的修养和素质。具有良好数感的学生，往往在面对现实问题的时候，主动地进行数学地思考，自动地将现实问题的信息转化为数学知识，采用数学解决问题的方式进行解决。因此，数感是学生的一种重要的数学素养。在小学整套2002年人教版数学教材中，每册教材都穿插了两个综合实践活动，有意识地利用本册的数学概念、原理和方法解释现实世界中的现象以及解决现实世界中的问题。

【案例】：

在三年级上册综合实践活动二《掷一掷》的掷骰子活动中，通过让学生小组合作，体验解决“一起掷两个骰子得到的两个数和可能有哪些”的数学问题的过程。在活动过程中，學生运用了可能性、简单加减法、统计等的数学知识，在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，有条理地进行思考并表达自己的思考过程与结果。

通过实践活动，充分运用学生原有的数感，培养学生的数学素养。

四、在数学学习中培养学生数感

1、通过估算技能的培养促进数感

“估算”是计算、口算、心算学习后自动生成的派生能力或衍生能力，估算的过程是个体对心算、数概念、计算技巧等知识重组和运用的复杂过程。《课程标准（2011年版）》提出：估算时数量单位的正确选择，在一定程度上反映了学生的数感。估算的学习和运用，一是选择恰当的单位进行估计；二是选择合适的方法具体操作。数感和估算的关系如何？从上述数感的要素构成上来看，数感包括了估计物体数量多少和使用参考点进行估计两个成分，数感强的学生，估算的意识也会强烈，估算的能力也随之增强，经常进行估算又有利于学生建立良好的数感。

【案例】：

在二年级下册学习万以内数的认识这一单元的估算时，学生学会了估算的方法，但是估算的意识很薄弱，往往不会主动选择运用估算的方法解决问题。在课后练习出现这样的题目：“办公桌735元，电饭锅289元，妈妈带了1000元，买上面这两样东西够钱吗？”题目呈现三个数据，其中1000元是一个整千数，比较特殊，735+289=是一个三位数加三位数的计算，学生还没有教学过这方面的计算能力，问题是要解决够不够钱的问题，因此在这样的情境下，选择估算的方法更适合学生的学情，也更方便。为了使得学生更愿意选择估算的方法，我通过数轴来教学训练学生估算的技能，让学生在刚接触估算教学的时候，更容易掌握估算的技能。在运用数轴辅助教学的过程中，学生直观地发现一般我们将这些数估成接近整十、整百、整千数，这样的数使得我们的计算变得更方便，同时让学生看到一般的数就能自然而然地想到估算的方法。

教学设计：

数轴一：（整十数、100以内数的估算）（见图1）

提问：

请你在数轴上找出下面的数，并说说它最接近哪个整十数？

9、38、62、96

数轴二：（整百数、1000以内数的估算）（见图2）

提问：

请你在数轴上找出下面的数，并说说它最接近哪个整十数？

112、385、709、920、990、442、852

数轴三：（整千数、10000以内数的估算）（见图3）

请你在数轴上找出下面的数，并说说它最接近哪个整十数？

1001、3980、5490、9507

数感是一种直观的能力，数感其中一个要素是使用参考点进行估计，为了使得孩子更直观的理解对数的估算，笔者在教学设计中设计了以数轴来辅助教学。

2、加强动手操作培养学生数感

布鲁纳强调：数学知识不是一个简单的结果，而是一个过程，以生活实际和学生的经历、体验帮助理解抽象的概念，建立数感。因此在數学课堂教学中，教师要选择适合学生年龄特征的方式，提供实物，联系身边具体事物，观察操作、游戏等方式辅助教学，注重在教学中与学生数学地进行交流。

【案例】：

在三年级上册第三单元四边形关于周长的教学中，笔者设计了这样的教学过程：课件展示三片叶子，分别有蚂蚁、小虫和蜗牛三种小动物分别在叶子上爬，其中蚂蚁沿着叶子边走了一圈，小虫在叶子内走了一圈，蜗牛沿着叶子边走了大半圈，让学生观察回答：“它们从哪里出发？怎么走的？有什么不一样”。通过生动有趣的活动，让学生清晰地掌握了关于周长的概念。

数感与学生数学学习是相辅相成的，良好的数感既能激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的数学素养，同时在数学学习的过程中，教师通过各种有效的教学措施培养学生良好的数感。