分析高中数学中的三角函数变换

何庆文

摘要：三角函数变换就是利用三角函数公式把三角式从一种形态变换为另外一种形式，三角函数的变换具备多向性、不定性，因此，在变换的过程中有很多方法.本文就根据实际例子来对高中数学中的三角函数变换做出剖析.

关键词：高中数学； 三角函数； 转变

由于三角函数的变换具有多向性、不定性，因此，学生对其理解不是很透彻，也比较难掌握每一种方法，但是“万变不离其宗”，其变化的基本思想与规律是不会变换的，下面进行详细分析.

一、三角函数变换中的几种常见类型

1.函数名称变换.在三角函数变换中，最为常见的是函数的名称变换，在名称变换的情况中最为常见的是切割化弦.对于三角函数名称的变换我们可以从化函数或者是化形式的方面进行思考.

在三角函数中，正弦与余弦是六个三角函数的基础，也是应用最为广泛的，其次是正切、余切，我们只需要将变换了的三角函数名称转换成为同名的三角函数，就能够成为我们常见的三角函数.比较常见的方式是“切割化弦”、“齐次弦代切”这两种转化方式.

2.三角函数“角”的变换.“角”的变换主要体现在了三角函数中的差角、余角、补角、半角等之间相互转换.随着三角函数“角”的变换，其相应的运算符号、名称、次数都会出现一定的变化，在解题的过程中，我们只需要认准三角角度之间的和、差、半、补、余等关系，利用已知的“角”来表示未知的“角”，然后再根据相关的关系运算，就能够顺利的解决三角函数的求解问题.

例1 设A、B均是锐角，且cos（A+B）=1213，cos（2A+B）=35，求cosB=？

分析：从题目中我们知道“已知角”是（A+B）、（2A+B），，B=2（A+B）-（2A+B）.

比较这三者之间的关系，我们只需要将B用A+B、2A+B表示出来，再利用两角差的余弦公式就能够轻松的解出cosB.

解：略.

3.三角函数“形”的变换.我们在对三角函数进行转化、求简或者求值的过程中，会根据一些情况来讲一些常数，比如1，2，1+2等转换成为与其相关的三角函数，其中利用常数1来转换是比较常见的.

从上文我们知道了，遇到这种情况，先利用已知条件，因此，我们利用“弦化切”来进行解答.我们利用整式中的分母都是相同4的情况，将其转换为1，将分母“1”转化为：sin2α+cos2α，从而简化解答.

在解答的过程中，我们要遵循由繁到简、由简到易的规律.

二、几种比较常用的三角函数变换解题方法

1.将“弦函数”与“切函数”进行相互的转换.将“弦函数”与“切函数”进行相互的转换是在平常的解答三角函数中比较常见的也是两种基础的转换手法.

如，在三角函数式中存在正切函数，我们就可以利用三角函数之间最为基本的关系或者是利用将“弦函数”转换为“切函数”来进行求解或者是证明.这种方法比较简单，学生掌握起来也比较快，在三角函数式中应用比较广泛.

2.采用“角”的等量代换.如，在三角函数中出现已知角与所求角时，我们要判断两者之间的相互关系，在确定两者之间存在某种关系的时候，我们就可以采用“角”之间的等量代换.

比如，α=（α+β）-β=β-（β-α）=（α+β）2+（β-α）2.

采用比较简单的“角”变换就能够将一些不容易解的题目变换为我们熟悉的题目来进行求解.

3.公式逆用或者变用对于公式或者定理，我们可以对其进行反推（从结果开始证明到题目），或者是将公式变换来进行用，会取到意想不到的效果.当然这必须建立在对公式或者定理足够熟悉的基础上，比如我们可以让学生熟练的使用2sin2x=1-cos2x、2cos2x=1+cos2x这些基础的三角函数公式，并作出引导的证明或者变换的证明，让学生反复练习，达到熟能生巧的地步.

除以上的基本解题方法，我们在教授学生的过程中要培养学生如何自己去解题，不是只会记“题”，要记住“题型”，会变换“题型”，我们所知的三角公式比较多，在解题的过程中假如没有选对公式或者选错了方向，那么解题过程就是一个泥潭，会越陷越深，在进行三角函数的变换过程中要：公式选择必须谨，角的范围尽量小，变量统一变，不局限一种方法，综合考虑.

三角变换的基本思想可以总结如下：找差异、建联系、选公式、促转化，在三角函数中无论题目是要求求值化简，还是要求我们证明某一结论，我们都应该将题目的中已知转化为未知，这也是所有解题的方法之一.根据整体已知的条件，找取相应的部分定理条件，或者是角之间的差异，或者是函数名称的差异，在找到差异之后，整个题目就迎刃而解了.

参考文献：

[1] 鲁家武.浅谈高中数学中三角函数的教学与学习方法及例题研究[J].东西南北·教育观察，2011（6）：184-185，180.

[2] 赖彩玲.论高中数学中的三角函数变换[J].教育教学论坛，2012，（12）：116-117.

[3] 王建华.高中数学三角变换的类型和技巧研究[J].中学教学参考，2011，（1）：66-68.