p-幂零群的两个充分条件*

林丽秋，钱方生

(哈尔滨师范大学)

1 定义及引理

定义1.1［1］群G的一个子群H称为在G中s-正规，如果存在G的一个次正规子群K，使得G=HK且H∩K≤HsG，其中HsG是包含在H中的G的最大次正规子群.

定义1.2［2］群G的一个子群H称为在G中s-置换的，如果对G的所有Sylow子群P，都有PH=HP成立.

引理1.3［1］设G为有限群，下列结论成立:

(1)如果H在G中s-正规，且H≤K≤G，则H在K中s-正规.

(2)设N◁G，且N≤H，则H在G中s-正规当且仅当H/N在G/N中s-正规.

(3)设H是G的π-子群，且N为G的正规π'-子群，如果H在G中s-正规，那么HN/N在G/N中s-正规.

引理1.4［2］设G为有限群，下列结论成立:

(1)如果H在G中s-置换，且H≤K≤G，则H在K中s-置换.

(2)设N◁G，则HN/N在G/N中s-置换.特别地，如果N≤H，则H/N在G/N中s-正规当且仅当H在G中s-置换.

(3)如果H在G中s-置换，则H◁◁G.

引理1.5［3］设G为有限群，P是G的s-置换的 p-子群，p是一个素数，则 Op(G)≤NG(P).

引理1.6［4］如果A◁◁G，且A是G的p-子群，则A≤Op(G).

引理1.7［4］设G是有限群，p∈ π(G)且(|G|，p-1)=1，如果G有循环的Sylow p-子群，则G为p-幂零群.

引理1.8［1］设G是有限群，p∈ π(G)且(|G|，p-1)=1，如果存在 P ∈ Sylp(G)，若NG(P)为p-幂零群且P的每个极大子群在G中s-正规，则G为p-幂零群.

引理1.9［5］设 G是有限群，A、B、C是G的子群，则A∩BC=(A∩B)(A∩C)与A∩BC=(A∩B)(A∩C)等价.

2 主要结果

定理2.1 设 G是有限群，p∈ π(G)且(|G|，p-1)=1.如果存在 P ∈ Sylp(G)，使得P的每个极大子群在p-幂零群NG(P)中s-正规，且P'在G中s-置换，则G为p-幂零群.

证明 假设定理不真，设G为极小阶反例.

(1)对任意P≤H ＜G，H为p-幂零群.对任意 P≤H ＜ G，显然有(|H|，p-1)=1，P也是H的Sylow p-子群.因为P'在G中s-置换，又P'≤P≤H ＜G，所以由引理1.4知，在P'在H中s-置换.又NH(P)≤NG(P)且P的每个极大子群在NG(P)中s-正规，由引理1.3知，P的每个极大子群在NH(P)中s-正规.综上，H满足题设条件，故H为p-幂零群.

(2)1≠ P'≤ Op(G).设 q∈ π(NG(P))，Q∈Sylq(NG(P))，显然P◁PG.设H=PQ，如果P是循环群，由引理1.7知，G为p-幂零群.如果P是非循环群，由引理1.8知，G为p-幂零群，矛盾.故H ＜G.由(1)知，H为p-幂零群.因此Q◁H，H=P×Q.若P为交换群，则有NG(P)=CG(P)，故G为p-幂零群，矛盾;因此P'≠1.又P'在G中s-置换，故P'◁◁G，由引理1.6知，P'≤OP(G)，因此OP(G)≠1.

(3)G可解且OP'(G)=1.设T◁G且T≤P，则P/T∈Sylp(G/T).设P1/T是P/T的极大子群，则|P:P1|=p，故P1是P的极大子群.因P1在NG(P)中s-正规，由引理1.3知P1/T在NG(P)/T=NG/T(P/T)中s-正规.又因(P/T)'=P'T/T，P'在G中s-置换，由引理1.4知P'T/T在G/T中s-置换.综上G/T满足题设条件，从而G/Op(G)为 p-幂零群.设 M/Op(G)为G/Op(G)的正规p-补.若p=2，M/Op(G)为奇阶群，故M可解;又G/M为2-群可解.若p≠2，由(|G|，p-1)=1知G为奇阶群可解.另外，基于题设条件是子群遗传的，则G为内幂零群，设 |G|=paqb(a，b是自然数)，则 G=PQ，其中P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G).设Oq(G)≠1，下证G/Oq(G)满足题设条件.

记L=Oq(G)，则PL/L∈Sylp(G/L).任取PL/L的极大子群M/L，则|PL:M|=p，从而M=PL∩M=L(P∩M)，设 P1=P∩M，M=LP1，P∩L=P∩M∩L=P1∩L，|P:P1|=|PL:(P ∩ M)L|=|PL:M|=p，故P1是P的极大子群.又P1在NG(P)中s-正规，即存在K◁◁NG(P)，使得NG(P)=P1K且P1∩K≤(P1)sNG(P)，则可得到(P1L/L)(KL/L)=NG(P)L/L=NG/L(PL/L)，KL/L◁◁NG(P)L/L.又L∩K⊆L∩NG(P);另外L∩NG(P)中的元素是 NG(P)中 q-元素，而 K◁◁NG(P)，则|NG(P):K|=pa(a∈N)，NG(P)中的q-元素都在K中，L∩NG(P)中的元素都在L∩K中，则L∩NG(P)=L∩K;因此，L∩P1K=Oq(G)∩NG(P)=(L∩P1)(L∩K)，由引理1.9知，P1L∩KL=(P1∩K)L;从而有(P1L/L)∩(KL/L)=(P1L∩KL)/L = (P1∩K)L/L≤(P1)sNG(P)L/L≤ (P1L/L)sGG/L(PL/L)，由引理 1.3知PL/L的每个极大子群在NG(P)L/L中s-正规，又NG(P)L/L=NG/L(PL/L)，则PL/L的每个极大子群在NG/L(PL/L)中s-正规.又P'在G中s-置换，由引理1.4可知(PL/L)'=P'L/L在G/L中s-置换.综上所述，G/L满足题设条件，则G/L为p-幂零群.即G/Oq(G)为p-幂零群.故G为p-幂零群，矛盾.即Oq(G)=Op'(G)=1.

(4)CG(Op(G))≤ Op(G)，且 Op(G)是 G唯一极小正规子群，从而是初等交换p-群.由(3)知G为可解群.再由Op'(G)=1可得到Op(G)=F(G)，因此CG(Op(G))≤Op(G).设N是G的含于Op(G)的极小正规子群，则N是初等交换p-群.若N≤Φ(G)，G/N为p-幂零群，因此G/Φ(G)≌(G/N)(Φ(G)/N)为p-幂零群，故G为p-幂零群，矛盾.因此，N不含于Φ(G)并可假设Φ(G)=1.设D为G的异于N的极小正规子群，则D≤F(G)，D也是初等交换p-群，D≤P，故G/D满足题设条件，于是G≌G/D∩N为p-幂零群，矛盾.从而，N是G的唯一极小正规子群，于是N=F(G)=Op(G)是G的唯一极小正规子群，且为初等交换p-群.

(5)导出矛盾.因为P'在G中s-置换，由引理1.5知，Op(G)≤NG(P')，则 G=POp(G)=PNG(P').因为P正规化P'，所以 P'◁G.由Op(G)的唯一知，P'=Op(G)=N，又由(3)的证明知G/Op(G)为p-幂零群，故Op(G)Q◁G，且有QOp(G)∩P=Op(G)≤P'≤Φ(G);最后由J.Tate定理知，Op(G)Q为p-幂零群;因此，Op(G)Q=Op(G)×Q与CG(Op(G))≤Op(G)矛盾.

综上所述，极小阶反例不存在，定理得证.定理2.2 设G为有限群，p∈π(G)且(|G|，p-1)=1，N◁G，使得 G/N 是p- 幂零群.如果存在P∈Sylp(N)，使得P的每个极大子群在p-幂零群NG(P)中s-正规，且P'在G中s-置换，则G为p-幂零群.

证明 (用归纳法)P∈Sylp(N)，P的每个极大子群在NG(P)中s-正规.由引理1.3知，P的每个极大子群在NN(P)=NG(P)∩N中s-正规.又P'在G中s-置换，由引理1.4知，P'在N中s-置换.再由定理2.1知，N是p-幂零群.设Np'是N的正规p-补，其中Np'为N的p'-Hall子群，则 Np'char N，又 N◁G，故 Np'◁G.

若Np'≠1，下考虑商群 G/Np'，设 M/Np'是PNp'/Np'的任意的极大子群，则M=M∩PNp'=(M∩P)Np'，令P1=M ∩ P，则有 P1∩ NP'=P∩M∩Np'=P∩ Np'，从而可以得到 p=|PNp'/Np':M/NP'|=|PNp':(M∩P)Np'|=|P:M∩P|=|P:P1|，即P1是P的极大子群.因为P的每个极大子群在NG(P)中s-正规，则P1在NG(P)中s-正规，即存在K◁◁NG(P)，使得NG(P)=P1K且P1∩K≤(P1)sNG(P)，显然有KNp'/Np'◁◁NG(P)Np'/Np'， 且 下 式 成 立:(P1Np'/Np')(KNp'/Np') = NG(P)Np'/Np'=NG/Np'(PNp'/Np')，类似定理2.1中证明可得，Np'∩NG(P)=Np'∩ K，于是 Np'∩P1K=(Np'∩P1)(Np'∩K).由引理1.9可以得到，P1Np'∩KNp'=(P1∩ K)Np'，从而有下式成立:(P1Np'/Np')∩(KNp'/Np')=(P1∩K)Np'/Np'≤(P1)sNG(P)Np'/Np'≤(P1Np'/Np')sNG/Np'(PNp'/Np').从而由引理1.3知PNp'/Np'的每个极大子群在NG(P)Np'/Np'=NG/Np'(PNp'/Np')中s-正规，又因(P/Np')'=P'Np'/Np'，P'在G中s- 置换，由引理1.4知 P'Np'/Np'在 G/Np'中 s-置换，即(P/Np')'在 G/Np'中 s-置换.又因为(G/Np')(N/Np')≌G/N为p-幂零群.综上所述，G/Np'满足题设条件，于是G/Np'为p-幂零群.从而G为p-幂零群.

若Np'=1，则N=P为p-群.由G/P=G/N为p-幂零群知G/P有正规p-补.设T/P为G/P的正规p-补，则|G:T|=pa(a是自然数).因为P'在G中s-置换，所以由引理1.4知，P'在T中s-置换.又NT(P)≤NG(P)且P的每个极大子群在NG(P)中s-正规，由引理1.3知，P的每个极大子群在NT(P)中s-正规.综上T满足题设条件，故T为p-幂零群.设Tp'是T的正规p-补，其中Tp'为T的p'-Hall子群，因此Tpchar T.又T◁G故有Tp'◁G.又因为|G:T|=pa(a是自然数)，所以Tp'=Gp'，即G有正规p-补Gp'，从而G为p-幂零群.

综上，定理得证.

［1］ 赵勇，王坤仁.子群s-正规性对群结构的影响［J］.四川师范大学学报，2007，30(3):280-283.

［2］ Kegel O H.Sylow-gruppen und subgroups of finite groups［J］.J Algebra，2007，315(1):192-209.

［3］ Li Yangming，Wang Yanming，Wei Huaquan.The influence of-quasinormality of some Subgroups of a finite group ［J］.Arch Math，2003，81(3):245-252.

［4］ 陈云坤，游泰杰.Sylow p-子群的正规子群的弱s-置换性［J］.扬州大学学:自然科学版，2011，14(3):1-5.

［5］ Doerk K，Hawkes T.Finite soluble groups［M］.Berlin，New York:Walter de Gruyter，1992.2-47.

［6］ 徐明曜.有限群导引［M］.北京:科学出版社，1999.1-127.