s-正规子群与有限群结构*

王 超，钱方生

(哈尔滨师范大学)

0 引言

有限子群的性质和群的结构之间有着非常密切的关系.因此常常利用子群的性质来研究群的结构.继1996年王燕鸣［1］引进了c-正规子群的概念后，又有两个比c-正规性弱的概念被相继提出:弱c- 正规［2］和s- 正规［3］.这些概念是近年来群论研究的热点，许多群论学者利用这些概念在有限群的研究方面做了大量的工作.s-正规要比子群的c-正规性和弱c-正规性弱.在该文中，利用s-正规子群的性质给出了有限群可解与P-幂零群的充分条件.该文中所有群为有限群，使用的符号及术语是标准的.

1 预备知识

定义1 称群G的一个子群H为s-正规如果存在K◁◁G，使得G=HK，H∩K≤HSG，HSG是包含在H中G的最大的次正规子群.

定义2 有限群G是π-闭群，若G有正规的 Hall π-子群.

定义3 称K为G的二次极大子群，如果K是G的某个极大子群的极大子群.

引理1［3］设G是有限群，则:

(1)如果H s-正规于G且H≤M≤G，那么H s-正规于M.

(2)设K◁G且K≤H，则H s-正规于G当且仅当H/K s-正规于G/K.

引理2［4］奇数群必为可解群.

引理3［4］设G为有限群，P∈Sylp(G)若NG(P)=CG(P)，则G为p-幂零群.

引理4［5］设G是有限群，p∈π(G)，P∈Sylp(G)且(|G|，p2-1)=1若存在P的二极大子群在G中s-正规，则G/Op(G)为P-幂零，特别地G可解.

引理5［6］若群G的p-子群，P◁◁G，则P≤Op(G).

引理 6［4］设 H 是群 G的 Hall子群，且H◁◁G，那么H◁G.

引理7［7］令N(≠1)是有限群G的可解正规子群.如果G的每个包含在N中的极小正规子群Li(i=1，…，s)均不包含在φ(G)中，那么N的Fitting子群F(N)=L1×L2×…×Ls.

2 主要结果

定理1 设G是群，H为G的Hall π-子群，M为H某个极大子群且|H:M|=p(p为素数).若M在G中s-正规且(|G|，p-1)=1，则G∕Oπ(G)为π-闭群.

证明 (i)若Oπ(G)≠1，由引理1容易验证G∕Oπ(G)满足定理条件，因G/Oπ(G)≌(G∕ Oπ(G))/Oπ(G/Oπ(G))， 由 归 纳 法 知G∕Oπ(G)是π'-闭群.

(ii)若Oπ(G)=1，由条件M在G中s-正规，则存在K◁◁G，使得G=MK且M∩K≤MSG≤Oπ(G)=1，于是 M ∩ K=1，又因为 |H:M|=p，所以 |Kp|=P故 Kp∈ Sylp(K)，因Nk(Kp)/Ck(Kp)同构于Aut(Kp)的子群，故其阶必整除(|G|，p-1)，因(|G|，p-1)=1所以Nk(Kp)=Ck(Kp)，故由引理3知K是p-幂零的.设Kp'是K的Hall p'-子群，显然Kp'也是G的Hall p'子群，则Kp'char K◁◁G，故由引理6知Kp'◁G，故G有正规的Hall π -子群，故G是π'-闭的.

定理2 设G是非单有限群，H为G的偶阶幂零Hall π-子群.如果存在H的某个极大子群M的Sylow2-子群在G中s-正规，则G为可解群.

证明 设M2∈Syl2(M)，由条件知存在K◁◁G，使得G=M2K且M2∩K≤(M2)SG.

(1)若(M2)SG=1，则G=M2K且M2∩K≤(M2)SG=1，因为H幂零，故|H:M|=p.由M2∩K=1，有|K|=2n或奇阶，由文献［4］定理5.5知K是2-幂零的，故K是可解的.设K2'是K的Hall 2'-子群，显然K2'也是G的 Hall 2'-子群，则K2'char K◁◁G，故K2'◁G，从而G/K2'的群阶为2的幂，故G/K2'为可解群，由K2'可解知G可解.

(2)若(M2)SG≠1，由引理5知(M2)SG≤O2(G)，若O2(G)≠1，则H/O2(G)是G/O2(G)的幂零Hall π-子群，且由引理1存在H/O2(G)的极大子群M/O2(G)的Sylow2-子群M2/O2(G)在G/O2(G)中s-正规，故由归纳法G/O2(G)中s-正规，故由归纳法可知G/O2(G)可解，由O2(G)可解，所以G可解.若O2(G)=1，则(M2)SG=1，由(1)知 G可解.

定理3 设 G是有限群，p∈ π(G)，P∈Sylp(G)且(|G|，p2-1)=1，若存在P的二极大子群在G中s-正规且NG(P)是p-幂零的，则G是p-幂零的.

证明 假设定理结论不真，G是极小阶反例，则有:

(1)Op(G)≠1.若Op(G)=1，设P1是P的二次极大子群，由题设知P1s-正规于G，即存在K◁◁G使得 G=KP1且P1∩ K≤ (P1)SG≤Op(G)=1，于是P1∩K=1，从而|Kp|=p2，设Kp∈ Sylp(K)，因 Nk(Kp)/Ck(Kp)同构于Aut(Kp)的子群，因p2阶群为循环群或初等交换群，所以Aut(Kp)能够整除(p2-p)(p2-1)=p(p-1)2(p+1).由Kp交换得Kp≤Ck(Kp)，所以p不能整除Nk(Kp)/Ck(Kp)的阶，又由条件(|G|，p2-1)=1，从而 |Nk(Kp)/Ck(Kp)|=1，即Nk(Kp)=Ck(Kp)，故由引理3知K是p-幂零的.设Kp'是K的Hall p'-子群，显然Kp'也是G的Hall p'-子群，则Kp'char K◁◁G，故由引理6知Kp'◁G，故G是p-幂零的，矛盾.

(2)Op'(G)=1.若Op'(G)≠1，考虑商群G/Op'(G).由引理1知G/Op'(G)符合定理条件，故由|G|的归纳法知G/Op'(G)是p-幂零的.因此G是p-幂零的，矛盾.

(3)G=PQ，Q∈Sylq(G)，q∈π(G)且q≠p.事实上，由引理4知G可解.从而G p-可解.故可设Q∈Sylq(G)，其中q∈π(G)，且q≠p，是G的包含P的Sylow系中不同于P的Sylow子群，使得G1=PQ≤G，若G1＜G，由于NG1(P)≤NG(P)，则NG1(P)是p-幂零的.由引理1知G1符合定理条件，再由G的极小性知G1=PQ是p-幂零的.于是P≤NG(Q).由Q的任意性知P含在G的Hall p'-子群的正规化子当中，因此G是p-幂零的，矛盾.从而G=PQ.

(4)最终的矛盾.设N是G的极小正规子群且N≤Op(G)，由引理1知G/N符合条件，由G的极小性知G/N是p-幂零的，由p-幂零类形成饱和群系，不妨令N是G的任一含于Op(G)的极小子群且N≤/φ(G)，由引理7知N=F(Op(G))=Op(G)是初等Abel p-群.由于N是G的Abel极小正规子群，则存在G的一个极大子群L，使得G是L与N的半直积，即G=L∝N.现设P″∈Sylp(L)，则P=NP″.若P″=1，则P=N◁G，于是G=NG(P)是p-幂零的，矛盾.故P″≠1.取P的极大子群P1，使P″≤P1.若P″=P1，则P=P1∝N，从而|N|=|P:P1|.对∀q∈π(G)，q≠p，令Q∈Sylq(G)，则NQ ＜ G.由N/C定理及(|G|，p2-1)=1，易知NQ是p-幂零的.故NQ=N×Q于是Q≤CG(N)=CG(OP(G))≤OP(G)，矛盾，故P″＜P1.取P的二次极大子群P2使得P″≤P2，于是N≤/P2(否则，如果N≤P2则有P=NP″≤P2，矛盾)由定理条件P2≠s-正规于G，即存在T◁◁G，使得G=TP2且T∩P2≤(P2)SG≤Op(G)=N，且P2∩N=1及N的极小性知(P2)SG=1，类似于(1)的证明可证G是p-幂零的，矛盾.所以极小阶反例不存在，结论成立.

［1］ Wang Yanming.C-normalily of groups and its properties［J］.J Algebra，1996，180:954-965.

［2］ Zhu Lujin，Guo Wenbin，Shum K P.Weakly C-normal subgroups of finite groups and their properties［J］.Commmun Algebra，2002，30(11):5505-5512.

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［4］ 徐明耀.有限群导引［M］.北京:科学出版社，2001.

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