数学的探究性活动

德力根仓

（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰024000）

数学的探究性活动

德力根仓

（赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰024000）

从三个方面对学生自主探究性活动进行论述：（一）从数学知识的实用性出发激发学习动机；（二）从数学知识的趣味性出发激发求知兴趣；（三）从数学知识的内在美出发吸引学生.

中学数学；探究性学习；实施策略；自主活动

探究性学习是一种在好奇心驱使下，以问题为导向、学生有高度智力投入且内容和形式都十分丰富的学习活动.是根据青少年身心特点提出的学习方法；是培养现代公民和创新人才的需要；是数学教学改革和研究的重要课题；是探索性学习和研究性学习的整合“教育要以学生发展为本”，发展作为一种开放的生成性动态过程，人的发展只有在人的各种关系与活动的交互作用中才能实现.学生的发展也应在个体与周围世界的关系和实践性活动中经过反思、重建得以自主实现.以学生发展为本，首先应考虑学生原有意识的经历，在主动参与、自主实践中体验，从而获得直接经验；其次应考虑学生能够把直接经验自主提炼、概括与建构的能力；再次应考虑学生潜力的发挥.在投入、感悟中能够有所发现、有所创造.下面介绍“探究性活动”的几种研究方法：

1 在做中学

实践性活动在做中学，学生可以从行为的结果中得到直接经验，观察别人行为得到替代性经验，把自己的观点、思维结果与别人的判断进行比较获得检测与评价.其魅力在于让跳跃智慧的手尖充分活动，学生在原有生活经验、亲身体验与认知的基础上进行学习的自主建构与自我调空.实践性活动应在下列几个教学环节中体现.

1.1 以学生熟悉的生活经验、原有知识结构作基础，变结论为问题

例1建筑学规定，民用住宅的窗户面积须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不少于10%，并且这个比越大，采光条件越好.问同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由.

学生：设原住宅的窗户面积和地板面积分别为a、b（平方单位），同时增加的面积为m(平方单位)，则a0.

让学生兴趣盎然地感受生活原型，在操作中首先明确活动目标（包括认知目标、技能目标、情感目标等），再提出问题，激起探究有关知识的心向，然后在实践中探究数学知识.

1.2 充分挖掘教材的潜力

课本习题是知识应用的浓缩，是数学问题的精华，具有很强的代表性和典型性，数学课堂教学中，若能利用典型习题所有的内涵，意识地引导学生去探究一些数学问题的规律和方法，对于激发学生的学习兴趣，培养学生的创造性思维能起到良好的杠杆作用.

例3双曲线4x2-y2+64=0上的一点P到它的一个焦点的距离等于17.求点P到另一个焦点的距离.

解同上由||PF2|-17|=16可得|PF2|=33或|PF2|=1

∵|PF1|+|PF2|=17+1=18>

∴|PF2|=33或|PF2|=1

例4双曲线4x2-y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于16.5，求点P到它的一个焦点的距离等于16.5，点P到另一个焦点的距离.

解由||PF2|-8|=16，得|PF2|=32.5或|PF2|=0.5

而此得|PF1|+|PF2|=16.5+0.5<8因此|PF2|=0.5也必须舍去，|PF2|=32.5

通过上面的两个例题的求解，我们引导学生观察现此类问题的答案的不确定性，第一个问题结果一正一负，而例4和例5，尽管|PF2|值均为正，但有的不合题意仍然要舍去.教师进一步指导学生解答习题时，不应只停留在原题上就题论题，而应探究解决问题的一般规律，这样学生对问题认识进一步深化了，就能抓住问题的实质，使学生获的触类旁通的本领.

解设点P到一个焦点F的距离|PF1|=n，到另一个焦点的距离为|PF2|，根据双曲线的定义得

||PF2|-|PF1||=2a.|PF2|-n=±a,

得|PF2|=n+2a或|PF2|=n-2a

（1）当|PF2|=n-2a≤0，且|PF1|+|PF2|=n+(n+2a)≤2c

即c-a≤n≤2a时，一解|PF2|=n+2a

（2）当|PF2|=n-2a≥0，而|PF1|+|PF2|=n(n-2a)<2c，

即2a

（3）当|PF2|=n-2a≤0，而|PF1|+|PF2|=n+n-2a<2c

即n≥a+c时，有两解|PF2|=n+2a或|PF2|=n-2a.

以课本习题为“钥匙”，通过引申探究，提高书本习题的利用率，充分显示书本习题的示范性，典型性，这样做比孤立解题效果好，加深了学生对基础知识的掌握，提高了学生自觉钻研书本的积极性.

2 在用中学

数学学习应该是一种有广泛的思维空间和实践空间的学习活动，拓展性活动作为知识应用的补充与自然延伸，将学习范围延伸到学生力所能及的社会生活和各项活动之中，将教育和生活融为一体，让学生获得更多的直接经验和感受体验.从而在用中体验数学知识的价值，体会学习数学知识深远意义，感受数学知识的美妙与功效.

拓展性活动——用中学的魅力在于把“纸上谈兵”的知识到实际中“摆兵布阵”，使单一性知识与综合性知识有机结合，在解决实际问题时，学会合理灵活处理“现实问题”；再把现实问题作“数学化”的抽象处理，使学生在应用中深化对知识的理解、掌握，更深刻地体验知识的价值.拓展性课程应在下列几个环节中体现.

2.1 以生活常识为资源的学习活动

一道好的探究性习题，应该充分考虑以下几个方面：贴近学生的数学现实，适合学生的知识和能力水平，求解中不需要补充大量的课外知识；有较明显的生产、生活或理化等其它学科的实际背景和应用价值；求解中能充分体现数学建模的特点和过程，并可以在不同水平上运用多种模型来分析和求解；在题目的陈述材料中，所给的条件应该具有适度的隐蔽性，否则该题将与一道纯数学问题无异，从而失去探究的意义.条件的适度隐蔽，可以培养学生全面深入的思维能力和实际操作能力.

例6用拖船拖载重量相同的小船若干只，在江南与江北两地之间来回运送货物．已知每只拖船拖4只小船一日能往返16次，每只拖船拖7只小船一日能往返10次，如果小船增多的只数与往返减少的次数成正比，问每日往返多少次，每只拖船拖多少只小船才能使运输量最大？

这一问题中由于变量的增多，使题目增加了隐蔽性，同时也增加了探究的难度.

分析：设每只拖船拖m只小船，每日能往返n次，每只小船每次载重量为t(t>0)日往返总量为w.则小船增加的只数为m-4,每日往返减少的次数为16-n，由题设可知：

m-4=k(16-n)(其中k为比例系数),且当m=7时，n=10.故有

∴n=24-2m(0

w=nmt=(24-2m)mt=-2t(m2-12m)

=-2t(m-6)2+72t≤72t.(当且仅当时m=6等号成立)

∴当m=6，n=2时取最大值72t.

答：当拖船每日往返12次,每只拖船拖6只小船才能使运输量最大.

2.2 以生活场景为资源的学习活动

如《教室内护墙瓷砖的铺设》中，各组选定一种规格的瓷砖，分头进行活动，从设计护墙高度、丈量护墙面积、瓷砖块数计算、进一法的运用、瓷砖材料价的测算，到编成一道应用题、绘制图形注上尺寸写上说明.在交流中各抒己见，有的从美观上考虑、有的从经济上打算、有的则从实用上出发各说各的理，体现结果的开放性与实际性.

2.3 以百姓关心的热点问题为资源的学习活动

如《市场价格调查与分析》中，分组分头选择文具类、玩具类、家电类、食品类等进行调查.学生需调查三个超市或商场统一规格20个以上产品的价格，制成统计表，再作详细分析.在此项活动中，学生学会了分辨产品的规格与数量、询问中的礼仪、原始数据的积累、统计表的设计（有的学会了电脑制表的方法），在对比中分析价格上浮、下降情况，了解商场经商的有关知识.通过分析比较，有的学生竟然向百姓提出购物建议，有的学生发现日用品不贵、人民币越来越坚挺了，有的学生从市场价格中感到中国加入WTO将带来的机遇与挑战等等.

创设此类活动改变了传统授课老师出题（所有条件都用上才能解决已定的问题），学生模仿例题、操练解题的格局.传统授课的这种千篇一律的解题，实际上给小学生一种假象：即除了这个以外再也没有其他有效的知识了，而教师也把这种教学简单地看成是知识与能力的传授，势必会造成“在一条船上，有75头牛，32头羊，问船长几岁？答案是43岁”式的结果.拓展性学习活动，让学生解决各种实际问题时，必须调用有关的各种数学知识综合运用，才能获得有效结果，在实际活动中达到知识的融会贯通、合理运用的目的.把数学知识与解决问题时的思维方式结合起来，改变纯数学演练的学习方式.是对传统授课之不足的革新与补充，也是对传统学习方式的改变与挑战.

3 在创中学

探究性活动是为“探究性学习”方式的充分展示和落实而提供的相对独立的、有计划的活动，具有整体性、实践性、开放性、生成性、自主性等特征.首先是把生活中的现象当作问题，提出假设；其次在操作实证中探究问题解决的方法；再次是在大量实践经验中提炼自己的观点，总结自己成果.这种活动需群策群力、共出金点子、收集好方法，必要时需查阅资料、寻求帮助.实证阶段又需团队分工配合、协调等的互动合作，失误时又要寻找原因，重新调整活动方案，成果交流阶段又能从别人的成果中获得替代性经验，真正让学生懂得纯数学的知识在实际运用中可能受到各类因素的影响，需不断变化与修正.还懂得数学知识的运用离不开其他各科知识的调用与融合，同时感受到团队协作、资源利用、智慧集聚的重要性.探究性活动应在下列几个环节中体现.

3.1 设计专业技术较突出的一个项目

在“做个家庭装潢设计师”活动中的《地面装潢设计》、《墙面装潢设计》，学生先草拟方案，确定装潢档次、制定操作步骤，然后丈量寓所、画出平面图、收集各种材料的价格信息、考虑辅助材料等等.各小组分别以低、中、高三档装潢标准去设计，其方案凸显开放性与实际性.最后电脑设计，制成小报，色彩斑斓的平面图、选材规格价位表、配以简要文字说明，展示设计成果.在此项活动中，学生需向有一定技术的专业人员请教，查阅室内装潢设计书籍，各种材料质量的调查与选定等等.学生一旦完成，就有一种成就感、成功感的喜悦.

3.2 探究一个现实中难以解决的问题

在《百年古杏高度的测量》中，开始时学生有些“望而生畏”，但通过群策群力，一个方案孕运而生：放一个气球与古杏树同高、用影长与竿长测算、用竹竿连接竖起与古杏树同高测量等等，再进行实证性操作，当设想与实际不符时，还需“推倒重来”，在经历了失败与成功之后，才能得出结论.设计此类问题，看似困难，但方法多样，可充分发挥学生的想象力、创造力，用他们的聪明才智解决实际问题.

3.3 综合运用各学科知识，解决一个实际问题

在“环境保护绿色行动”的《废电池污染研究》中，学生需收集资料：干电池的种类（汞电池、碱电池、锰电池等）、所含成分（二氧化锰、氯化铵、氯化锌等）、污染指数（焚烧一枚纽扣电池，排气中汞浓度超标15~30倍；每千克土壤含锌超过50毫克，作物难以生长）等等，再测算平均每户家庭每年所用电池量，造成的污染假想，提出回收废旧电池的重要性.这里涉及的知识较多，电池种类、化学名称、污染指数、抽样测算等等，在活动中学生能感知各种学科知识的综合运用的重要性.学生通过研究，可以从科学的角度理解废电池污染的道理，“回收废电池，做绿色小卫士”就能成为学生的自觉行动.

拓展性学习活动调用的知识（专业的、技能的）较多，学生除了“本本”上获取资源以外，还需向专业人士咨询、请教，具有“找米下锅”、“自寻生路”的特点，因此，此项活动作为学生的“长作业”或“探究性小课题”进行，按学生年龄的不同，适时适量地开展，一般以一学期一项或一个长假（寒暑假）一项为宜.

例7过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2，

求证y1，y2=-p2

要求学生证明这个结论的同时，思考还能得到什么新的结论.

下面的两种联解过程一定会同时出现：

至此，学生一定会领会到老师发问用意.

设问以上探究过程忽视了一个什么问题？以上的部分结论能否以一个命题形式给出？

学生晃然，忽视了k这个变数（要分斜率存在或不存在或存在不为零进行探究），并继续充分讨论、归纳至少可得如下：

成果：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的横坐标之积以及它们的和、差、商为值.

评:学生对这个问题的探究性学习已经首获成果，高兴之余兴趣更增.

探究性学习活动是引导学生关注自然、关注社会、走向实践、自主参与探究的有效手段.当然在这种活动过程中，教师应重视学生在探究实践中的体验，并不特别强调对某一特定学科知识、技能的系统掌握.

由于个体积极的情绪与情感建立在操作成就、替代性经验、环境条件等信息源之上的，只有学生个体与群体的互动、探索、合作，才能培养人既有独立性和自我追求、又有责任心和关心他人的品质，因此，“实践——拓展——探究”活动的创设，能形成师生间心理互动与对接、情感交流与融合、行为预示与控制，主要是赋予学生自我调节能力以突出的地位，充分体现触发情绪、引发参与、激励探索的魅力，为实现学生个性发展提供广阔的可能性和美好的前景.“学生个人或小组，就会离开僵化走向灵活，离开依赖走向自主，离开戒防走向自我接受，离开被预定走向一种不能预料的创造性.”学生最终就能摆脱教育达到成熟，就有独立的能力、自我负责的态度、与他人合作的精神和批判能力.

〔1〕胡兴宏.研究性学习与学科教学.上海教育科研，2002（3）：104.

〔2〕程华，虞怡玲.引入“大众数学”理念，改革小学数学教学.上海教育科研，2002（6）：206.

〔3〕顾明远，孟繁华.国际教育心理念.海南出版社，2001.219.

G633.6

A

1673-260X（2013）07-0223-03