模型论力迫法在代数中的一个应用

张 龙，陈国龙，万展翔 （淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北235000）

1 预备知识

定义1［1］设G是由I（C）中一些原子语句或原子语句的否定组成的集合。当G适合下列2个条件时，称为一个T－兼纳集：（i）G的每一有限子集都是一个T－条件；（ii）对I（C）中每一语句φ，都存在一个T－条件p⊆G，使p╟φ（p力迫φ）或p╟（┐φ）（┐φ表示非φ）。

定义2［1］设m是I的模型，如果存在一个T－兼纳集G，使m是m（G）在I中的归约，则称m为一个T－兼纳模型。

定理1 设Σ（x）是可数语言I的存在公式的集合，T是I的一个归纳理论，C是可数无限新常量集，对T在I（C）中的每个条件p，每个c∈C，如果存在公式都有σ（x）∈Σ（x），使T∪p∪ ｛σ（x）｝和谐，则必有模型μ╞φ（μ满足φ），μ的论域中任意一个元素a∈A，都有σ（x）∈Σ（x）使μ╞σ（a）。

定理2［1］设G是一个T－兼纳集，则存在I（C）的一个（并且除同构外唯一）模型m（G）使：（i）m（G ）的论域M（G）中每一元素m在C中有一个常量c的解释；（ii）对I（C）中每一语句φ，m（G）╟φ当且仅当G╟φ。

定理3［1］设T是一个 ∀∃ 理论（即：T中每一语句都是 ∀x1，…xn，∃y1，…，ym，ψ（x1，…，xn，y1，…，ym）形状，ψ中无量词），则每一个T－兼纳模型m都是T的模型。

定理4［1］设T是一个∀∃理论，则每一个T－兼纳模型m都是对T存在封闭的。

引理1［1］对每一T－条件p，都存在一个T－兼纳集G⊇p。

引理2［2］设μ是I的一个模型，μ╞T，设φ是I（A）中任意一个存在句，μ╞φ当且仅当存在一个有限集p⊆Δμ，使p╟φ。

引理3［2］设T是归纳理论，即T保持模型链的并，则T的兼纳模型是T的模型。

2 主要结论

首先，笔者用模型论力迫法把定理1推广到可数无限多个存在公式的集合中。

定理5 设Σ1（x），Σ2（x），…是可数语言I的可数多个存在公式的集合，T是I的一个归纳理论，C是可数无限新常量集，对T在I（C）中的每个条件p，每个c∈C，每个m＜ω，都有σ（x）∈Σm（x），使T∪p∪ ｛σ（c）｝和谐，则存在一个模型μ╞T，对每个a∈A，每个m＜ω，都有σ（x）∈Σm（x），使μ╞σ（a）。

证明 先来证明对每个条件p，每个存在公式σ（x），每个c∈C，如果T∪p∪｛σ（c）｝和谐，那么就一定存在条件q⊃p，有q╟σ（c）。

由T∪p∪ ｛σ（c）｝和谐可知，存在I（C）的模型μ，μ╞T，μ╞p，μ╞σ（c）。由引理2知，存在条件s，有s⊂Δμ使得s╟σ（c）。同时，可得p∪s⊂Δμ，因此p∪s也是T的条件。令q＝s∪p，则有q⊃p，q╟σ（c）。

下面列出C的全部常量c1，c2，…，cn，…，n＜ω。并且也列出I（C）的全部句子：φ0，φ1，…，φn，…，n＜ω。

还要归纳地构造T在I（C）中的条件的递增序列：p＝p0⊂p1⊂ …⊂pn⊂ …，n＜ω，使得满足每个n＜ω，都有pn＋1╟φn或pn＋1╟ ┐φn，并且σ（x）∈Σm（x），同时pn＋1╟σ（cn）。

假设pn已经构造好了，由题目已知条件有σ（x）∈Σm（x），使得T∪pn∪｛σ（cn）｝是和谐的。由上面的证明可知存在条件q，q⊃pn，q╟σ（cn），若q╟ ┐φn，令pn＋1＝q；若q不能力迫 ┐φn，那么存在s⊃q，s╟φn，令pn＋1＝s，则pn＋1╟σ（cn），并且pn＋1╟φn或pn＋1╟ ┐φn。

定理6 设Σ1（x1，…，xn1），…，Σr（x1，…，xnr），… 是可数语言I的可数多个存在公式的集合，T 是I的归纳理论，C是可数无限新常量集，对T在I（C）中的每个条件p，每一组c1，…，cnr∈C，每个r＜ω，都有σ（x1，…，xnr）∈Σr（x1，…，xnr），使T ∪p∪ ｛σ（x1，…，xnr）｝和谐，则存在一个模型μ╞T，对每一组a1，…，anr∈A，每个r＜ω，都有σ（x1，…，xnr）∈Σr（x1，…，xnr），使μ╞σ（a1，…，anr）。

下面给出代数封闭除环的定义，并证明有关可数除环的一个定理。

定义3 令I＝｛＋，·，0，1｝。设I的模型m 是一个除环。若对I中每一有限组原子公式或其否定si（x1x2，…，xny1y2，…，yr）（i＝1，2，…，k）及每一组μ1，μ2，…，μn∈ M 都有：“如果IM中的存在语句：φ ＝ （∃y1y2，…，yr）（s1（cμ1cμ2，…，cμny1y2，…，yr）∧ … ∧sk（cμ1cμ2，…，cμny1y2，…，yr））在mM的一个扩张除环nM中成立，则φ也在mM中成立。”则称m为一个代数封闭除环。

定理7 每个可数除环A都可扩张为一个可数的代数封闭除环。

证明 令I＝｛＋，·，0，1｝，T为I中的除环的一般理论（是一个∀∃理论）。设A为一可数除环。令T1＝T∪ΔA（ΔA为A的图像），则T1是可数语言IC（C为A的论域）中的∀∃理论，并且，T1的每个模型B都含有与A同构的子除环。

由引理1，定理2及定义2知，存在可数的T1－兼纳模型m1。由定理3可知，m1╞T1，所以m1是除环，并且可看作A的扩张.再由定理4知，m1是对T1存在封闭的，所以m1是可数的代数封闭除环。

推论1 每个可数域μ都可扩张为一个可数的代数封闭域。

［1］王世强 .模型论基础 ［M］.北京：科学出版社，1987：58－60.

［2］沈复兴 .模型论导引 ［M］.北京：北京师范大学出版社，1995：239－240.