“概率统计”教学中融入数学文化的探讨

刘东海，彭 丹

(湖南科技大学 数学与计算科学学院，湖南 湘潭4112011)

我国教育经历着由“应试教育”向“素质教育”的重要改变，这要求着数学课程的“素质教育”。概率统计作为高等院校大学生的公共基础数学课程，由于其研究对象的复杂性，研究方法的独特性和教学内容的实用性，这门数学课程越来越受到重视。传统的概率统计教学只注重了概念、定理讲解，忽略了课程的“素质教育”。与时俱进的数学课程应充分发挥数学的文化价值，在潜移默化中影响学生的观念、精神以及思维方式。

数学文化是数学科学在实践中不断摸索，逐步上升为理论和规律性的东西，是对数学科学知识的一种补充。主要包含了数学史、数学思想方法、数学美和数学实用性等内容。数学史是数学文化融入数学课程的一种载体。在概率统计教学中，讲授相关背景知识，将帮助学生认识概率统计概念、思想方法发展过程，让学生对整门课程有一个清晰、连贯的认识。数学思想方法则是数学的灵魂和精髓，而概率统计是唯一一门研究随机现象统计规律的数学考察，其蕴涵的数学思想方法有其独特的表现，系统学习这些方法可以帮助学生形成一种随机的思想和统计的观念。同时概率统计在美学领域用自己独特的内涵诠释了一个不同的文化境界。概率统计与实用学科有着密切联系，使之具有强大生命力。适时添加现实生活的素材，有助于学生更好地认识世界，了解世界，从而增强他们利用概率统计知识解决实际问题的意识，促进他们学以致用。

一 融入数学背景

在课堂上给数学多一点儿人文色彩，激发学生灵感，将数学背景资料:如概率统计发展中若干重要事件，重要人物或重要成果等融入教学内容中，这也是体现数学文化价值的一种有效途径。

在阐述概率论基本概念时，先说说1651年，法国贵族梅累向数学家、物理学家帕斯卡(Pascal)提出的一个十分有趣的“分赌注”问题:一次梅累和赌友掷骰子，各方押赌注32 个金币.双方约定，梅累如果先掷出3 次6 点，或者赌友先掷3 次4 点，就赢了对方.赌博进行了一段时间，梅累已经2 次掷出6 点，赌友已经1 次掷出4 点，这时候梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾，赌博只好中断了。请问:两个人应该怎样分这64 个金币才算合理呢?帕斯卡苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉目，于是写信给他的好友费马(Pierre de Fermat)，两人讨论并取得了一致的意见。这个看来不过是17世纪版本的棋盘游戏带来的却是风险概念的数学核心—概率论的产生，他们对这个迷题的解答意味着人们第一次可以借助于数字做出决定，预测未来。到底是如何分配赌注呢?引导学生去思考，这些将激发学生兴趣去探索随机世界。

说到正态分布，不得不提英国数学家棣莫弗(de Moivre)，他不畏艰难、历经数十载，最终由二项分布逼近导出正态分布的密度函数表达式，起研究成果在概率论发展中起着承前启后的作用，奠定了概率论的极限理论基础。从他们身上看到的是伟大的数学数学家锲而不舍的精神和攻克难关的勇气。

还有英国统计学家哥塞特(Gesset)在一家酿酒厂担任化学技师时，通过大量实验数据的积累，发现了一种分布与传统标准正态分布不同。经过深入研究，以“student”笔名发表了此项研究成果，故后人也称t 分布为学生氏分布。t 分布的发现在统计学史上具有划时代意义。

概率统计中每一个定义、定理都有其独特背景故事，适时讲解这些精彩的片段，可以开阔眼界、增长知识，锻炼学生逻辑思维能力。让学生悉心体会数学家们解决问题的思想和方法，学习他们实事求是的科学态度和优良的品质。更重要的是学习一种数学精神:正如美国著名数学史家克莱因(M.Kline)所写道:“数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度…尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”更进一步自然而然地激发学生创新思维意识，增强解决问题的勇气和能力。

二 渗透数学思想方法

概率统计中蕴涵了较广泛的数学知识，也蕴涵了丰富而独特的数学思想方法。在教学过程中将重要的一些数学思想方法加以介绍、讲解将对提高学生的思维素质和解决问题能力有非常重要的意义。

概率统计中比较重要的思想方法有下面几种:

1.转化思想:我们把遇到的问题通常转化成比较熟悉的问题来处理，比如求随机变量方差转化为求随机变量函数的期望计算;或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如求解某一事件概率，直接计算比较复杂，则可转化为求其对立事件概率。很大，很小时，二项分布问题转化为泊松分布问题简化计算;或者从非标准型向标准型进行转化，比如服从正态分布的随机变量转化为标准正态分布随机变量求解;或者难以解决的问题转化为比较直观的问题，比如变量估计中矩估计方法用样本矩去替换总体矩得到近似解等等;

在概率统计教学中按照熟悉化、简单化、直观化、标准化这些原则实施转化操作，将省时省力。

2.数形结合思想:正如华罗庚先生说过的:数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。概率统计中也蕴涵这种思想:如用文氏图来表示事件之间关系，一目了然;几何概型中用有限可度量区域(线段、面积等)大小计算事件发生概率，以形助思，巧妙直观。数形结合不仅能帮助学生沟通知识内在联系，解决新问题。还能有助于学生开发潜能，提高思维品质，培养审美情趣。

3.数学模型思想:概率统计作为一种随机数学，有很多从随机现象观察中提出的相应概率模型，如古典概型，几何概型，伯努利概型等等。教学生用随机变量来描述随机现象，然后研究相应数学模型的数字特征，从而阐述随机现象的统计规律性。

在教学中经常渗透这些思想，可以提高学生解题的水平和创新能力。概率统计课程中有意识将教学内容上升到思想方法高度，让学生体会到数学的抽象性和应用性，也是培养学生的理性精神，对学生进行文化熏陶的一种途径。

三 加强数学美熏陶

概率统计课程学习不仅有利于学生逻辑思维能力发展，与其他数学课程一样也有利于学生创造性才能包括审美直觉的发展。数学美包括对称美、和谐美、简洁美和奇异美。在概率统计中随处可见这些美伦美幻的情形。

1.对称美:比如正态分布图象展现的就是一副对称的美丽图案;条件概率公式与乘法公式的“对称性”，连续型随机变量的分布函数与密度函数的表达式“对称性”，利用这些特点，在求解时往往事半功倍。

2.和谐美:文氏图中事件与其对立事件在中是那么“对立”、“统一”，呈现出一副和谐图案;几何概型中“约会问题”，运用数形互化解题也是追求和谐美的结果。

3.简洁美:追求简洁美不仅能激发学生学习兴趣，往往还可以促进学生独辟蹊径，找到优美而简洁的解法。如正态分布、分布可加性表达式结构简单、整齐。

4.奇异美:在解决问题过程中变更思路，求新求异。如“蒲丰投针”用偶然性方法去做确定性计算。

从这些概率统计知识讲述过程中，让学生体会到其中的美，体会到数学也是赏心悦目的，让追求其中的美成为学生的学习动力，利用美陶冶情操，实现数学文化教育功能。

四 强调联系实际

概率统计在社会生活各个领域应用十分广泛，在理论讲授过程中，针对不同专业的学生，采用不同实用案例，让学生了解概率统计内容与自己专业之间联系，认识到学概率统计是有所用的。进一步感受这门课程的应用价值、文化价值。这样有利于学生学好概率统计课程同时学好本专业的知识，培养学生的发展应用意识，创新精神和创新能力。

例如在讲解方差，可以从几个厂家同一产品抽样检查百分比计算参数方差从而评价出厂家生产的产品质量好坏;统计中判别分析可将到应用于生物品种的鉴别，选矿中矿藏储量贫富的辨别等等;

讲到正态分布中原则，这个结论不仅应用在生产上，还应用到高考中。高考阅卷中主观评分和客观评分不一样。如何才能保证公平呢?大家运用概率统计知识攻克这个难题，大致情况是这样的:请一批最有声望的老师，其中包括大学的教援来判分，发现他们判得都比较稳定、都比较准、相差不多，就用他们的经验来作为统计数据，然后按一定的波动范围给出上下界来。在高考阅卷过程中，不断检查卷宗，如果改卷者评分在规定的范围以内，就没有问题，不用介入;如果发现有的卷宗超出这个范围以外，就请别组老师或者专家组介入。这样一定程度上保证了高考阅卷的公平、公正。

另外，在工程设计中，概率统计知识也举足轻重，比如要设计个桥梁，这个桥应该设计多宽，他们就事先做这个工程的系统设计，用蒙特卡洛(Monte Carlo)方法来模拟。然后根据车辆的到达时间服从泊松分布，车占位多宽，有几个车道，车有多长，车流量是多少，还有司机的心理和居民的心理能够承受的等待时间等等，作为设计桥梁宽度的依据，用模拟方法来做实验，进行设计。

也可补充讲统计学的方法做科学计算，如算积分、解微分方程、解偏微分方程和解线性代数等等。

这些应用都说明了概率统计理论的实用价值，让学生感受到知识的魅力。

随着素质教育改革深入发展，数学文化教育势在必行。教师的观念只有从学科基本概念、定理、解题中跳出来，走向数学文化，才能从根本上转变这门课程在学生心目中的印象。概率统计课也应当是数学文化传承的地方，教师在概率统计知识与技能的教学中，适时介绍概率统计知识产生的背景;在过程与方法的教学中，有意提炼数学的思想方法;意会数学中的美，让学生浸润在数学文化氛围中。这样学生就可以在获得概率统计较为系统的基础理论知识与方法同时，学到一种观察世界的随机性思维方式，学会一种描述偶然现象的基本语言，掌握一种处理不确定性问题的随机分析技术，奠定学习其他学科的基础。

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