基于周期性扩频的单相H桥逆变器非线性现象的研究*

刘洪臣 李飞 杨爽

(哈尔滨工业大学电气工程及自动化学院，哈尔滨 150001)

(2012年10月16日收到;2013年1月16日收到修改稿)

1 引言

由于电力电子电路中存在着开关的高频切换，因此在开关电路中存在着丰富的非线性现象.各国学者对于其中存在的非线性现象从上世纪80年代就已经开始了研究.1988年，Hamill等人在一定的简化条件下，对峰值电流控制的BUCK变换器建立了一阶离散模型，分析了其中的分岔和混沌现象，从而开创了电子电路非线性研究的新领域[1];1992年，Dean等人把研究对象扩展到峰值电流控制的BOOST变换器上，分析了以电流为参数的分岔图和李雅普诺夫指数[2].随着研究的深入，逐渐由低阶系统向高阶系统过渡，1995年，Tse等人研究了电流滞环控制的四阶CUK变换器，分析了其中存在的霍夫分岔及混沌现象[3].在过去20多年的时间里，DC-DC变换器是电子电路非线性研究的主要对象[4-12]，而其他类型的电力变换器中的非线性现象研究相对较少.Robert等人于2002年首先研究了单相正弦H桥逆变器中的混沌和分岔现象，将以往开关功率变换器中的非线性现象的研究方法应用到了DC-AC中，发现DC-AC变换器中存在着丰富的非线性现象[11].Kousaka等人采用返回图的方法研究了单相H桥正弦逆变器的动态特性，采用返回图的方法对周期轨道的稳定性进行了分析，进一步用分岔图研究了这些周期轨道[12].国内的王学梅、张波等采用折叠图的方法对单相H桥正弦逆变器的快变和慢变稳定性进行了分析[13,14]，周宇飞等人对单相H桥正弦逆变器的混沌控制问题作了进一步的分析[15].

随着当前电力电子技术的飞速发展，变换器的电磁干扰(EMI)问题日益严重[16].目前，广泛采用扩频的方式对EMI和噪声进行抑制.扩频技术最先应用于通讯和微处理系统，从90年代开始应用于变换器中来降低EMI水平，随着研究的深入，各国学者陆续提出了多种扩频方式，如随机扩频，正弦波扩频，三角波扩频，混沌扩频等，均取得了很好的效果.但是对扩频后电力变换器的非线性行为的分析未见报道.本文在对单相H桥正弦逆变器的非线性特性分析的基础上，首次对基于扩频技术的单相H桥正弦逆变器的非线性行为进行分析，建立了单相H桥正弦逆变器扩频后的离散模型，研究了单相H桥正弦逆变器的稳定性及混沌行为，指出扩频后的单相H桥正弦逆变器在进入非线性区域后更容易进入混沌区，并且周期扩频的频率会对系统初始分岔点的位置产生影响，通过本文的分析，可以得到最佳的周期扩频的频率值.本文的研究对单相H桥正弦逆变器的稳定运行具有一定的指导意义.

2 周期性扩频技术

扩频是指开关电源工作频率不是固定不变的，而是在一个中心频率附近作周期性或者随机性的变化.对于传统的单相H桥正弦逆变器的载波调制策略而言，由于三角波频率一定，在采用扩频技术后将原来集中于固定开关频率附近的谐波分散到了一个频带范围内，使得谐波的幅值降低，继而降低了电磁干扰和噪声.依据实现方式的不同，扩频可以分为周期性扩频、随机扩频和混沌扩频三种，本文选择周期性扩频技术进行研究[16].周期性扩频就是利用一些周期性信号来改变原来三角波的固定频率，使载波频率围绕固定频率作周期性变化.载波频率 fS的一般表达式为

式中 f为载波基准频率，Δf为载波周期变化频率.当Δf=0的时候，此时为固定频率的调制技术.当采用正弦周期频率调制时

式中fA为周期频率调制中PWM信号的频率偏移的幅值;f1为正弦信号的频率.扩频技术在降低变换器的EMI以及减少输出电压纹波已经得到广泛的应用，但是对于其中的非线性研究却非常少.

3 单相扩频SPWM-H桥的离散模型

基于周期扩频技术的单相H桥正弦波逆变器的原理图如图1所示.其工作原理是由负载电流与给定电流进行比较之后，进行P控制，再进行脉冲宽度调制(PWM)，其中载波的周期是正弦周期性变化的[17].该电路由四个带反并联二极管的IGBT开关组成，依次是 S1，S2，S3，S4.负载为电感和电阻，电源为直流电源E.逆变器由两个状态组成，状态1，S1，S3导通，S2，S4截止，电感电流上升;状态 2，S1，S3截止，S2，S4导通，电感电流下降.由于该电路拓扑只有一个状态变量，因此，两状态可以用两个一阶微分方程表示.

模态1为

模态2为

其中，i是电感电流，U是负载电压.

在控制器的作用下，系统在两种模态之间进行切换，TS是时钟周期，此时的TS不再是固定不变的时间常数，而是大小随正弦规律变化，本文取变化范围为2.5—7.5 kHz，负载的工作波形如图2所示.其中E是电源电压，i是负载电流，TS1，TS2是按照正弦规律变化的时钟周期.

图1 基于扩频技术的单相H桥逆变器工作原理图

图2 负载电流波形(实线)和电压波形(虚线)

采用频闪映射建模的方法[5]，将状态变量的n+1时刻的采样值用n时刻的采样值来表示.以载波周期作为频闪采样周期，由状态方程(1)、(2)得出电感电流i的频闪模型

式中D为常数，k为比例系数，irefn为正弦参考电流在每个开关时刻的采样值，in为采样时刻的采样电流[8].

4 稳定性分析

4.1 单相H桥逆变器输出电流的时域分析

单相H桥逆变器选择的参数为：E=400 V，R=20 Ω，L=0.02 H，D=0.5，iref=5sin(40πt)，iref所选择的固定的载波频率是 fS=5 kHz，固定频率下的输出负载电流i波形如图3所示;应用正弦周期性扩频技术后，载波频率在 fs=2.5—7.5 kHz之间作正弦周期性变化，有效减少了电磁干扰噪声的影响，扩频之后的输出负载波形如图4所示.

图3 载波频率是固定的 f=5 kHz，不同反馈系数下电流i的时域波形 (a)k=0.1;(b)k=0.29;(c)k=0.5

从图4中可以看出，在正弦周期性扩频之后，单相H桥逆变器中存在丰富的非线性现象.通过对比图3和图4，可以看出在经过扩频之后，正弦调制的单相逆变器中存在的非线性特性要比在固定频率之下的非线性特性更加强烈，而且，在同样的参数情况下，也更加容易进入非线性区域.

4.2 折叠图与混沌现象动态演化过程分析

折叠图是一种比较有效地观察分岔与混沌现象的方法.它避免了雅克比矩阵不仅依赖于平衡点而且计算繁琐的缺点，更加直观的观察混沌现象.具体的方法为：选取任意的一个初始值代入迭代方程(3)式，略去前面的不稳定过程，选取稳定后的50个正弦周期按照采样时刻对齐后折叠，绘制折叠图.通过比较图5和图6，可以得出：当k=0.1时，扩频前50个正弦波的采样点最后重合在一起，而扩频之后的50个正弦波的采样点分布的区域比扩频之前的区域广泛，说明扩频之后的系统不如扩频之前稳定，但是系统总体是趋于稳定的;在k=0.29时，扩频之后的50个正弦波的采样点最后集中在三条轨道上，而固定频率下的50个正弦波的采样点集中在两条轨道上，说明扩频之后系统更加容易进入混沌状态，更加的不稳定;在k=0.5的时候，扩频前后的50个正弦波的采样点最后充满整个空间，说明系统最后进入了混沌状态.

图4 载波频率 fs=2.5—7.5 kHz，不同反馈系数下电流i的时域波形 (a)k=0.1;(b)k=0.29;(c)k=0.5

图5 载波频率为 f=5 kHz，不同反馈系数下电流i折叠图 (a)k=0.1;(b)k=0.29;(c)k=0.5

图6 载波频率 fs=2.5—7.5 kHz，不同反馈系数下电流i的折叠图 (a)k=0.1;(b)k=0.29;(c)k=0.5

4.3 分岔与混沌现象动态演化过程

电流i是单相逆变器的输出电流，作为状态变量，它的变化可以反映系统整体的变化.如图7和图8，在k从0增加的过程中，固定频率下的负载电流更容易出现分岔现象，而且在k=0.29时，扩频下的输出负载电流所分布的范围比固定频率下的输出负载电流更大，说明在扩频下的混沌化更加明显，从折叠图也可以明显的看出，最后在k=0.5时，扩频下的输出负载电流比固定频率下的输出负载电流的混沌现象更加剧烈，均匀的充满整个平面空间.

为了准确说明分岔的位置，下面进一步分析了李雅普诺夫指数.根据李雅普诺夫指数的定义，k的范围为从0.1到0.7，取步长为0.001，在每个k值下迭代100次，得出李雅普诺夫指数，如图9所示.

在图9中k=0.25时，李雅普诺夫指数等于零，此时对应于图7中的第一个分岔点，随着k的增加，在k=0.32时再次出现分岔，在k=0.3—0.4之间，李雅普诺夫指数多次大于零，因此在k=0.32之后进入了一段由于多次分岔造成的混沌区域，在k≥0.4时，系统最后进入了混沌区域.在图10中k=0.29时，李雅普诺夫指数等于零，此时对应图8中第一个分岔点，在k=0.35的位置，系统再次出现分岔，随着k的进一步增大，系统最后进入了混沌区域.

图7 载波频率是固定的 fs=5 kHz，随着系数k变化电流i的分岔图

图8 载波频率 fs=2.5—7.5 kHz，随着系数k变化电流i的分岔图

4.4 载波频率增量的频率f1对负载电流的影响

正弦扩频技术中，载波频率增量是按照正弦规律变化的，其变化的频率 f1对负载电流的非线性影响也是非常重要的.取调制波的频率为20 Hz，f1以20 Hz及其整数倍变化.图11为取 f1为20 Hz，160 Hz及480 Hz时的分岔图，f1影响负载电流分岔点的位置以及影响时域波形尖峰的数目如表1和表2所示.

图9 载波频率是固定的 fs=5 kHz，负载电流i随k变化时的李雅普诺夫指数谱

图10 载波频率 fs=2.5—7.5 kHz，负载电流i随k变化时的李雅普诺夫指数谱

通过表1可以得出，随着 f1的逐渐增大，比例系数k的分岔点的位置逐渐增大，一直到 f1=160分岔点位置增加到最大值，然后，随着k的进一步增大，比例系数k的分岔点位置又返回到了原来的位置，直至到了最小k=0.185.通过表2得出，随着f1的增大，负载电流在一个周期内由于尖峰数量逐渐增加，在尖峰位置处，负载电流出现很强的非线性现象，随着 f1的进一步增加，尖峰数量越来越多，最后整个进入了混沌状态.因此，从表1和表2可以得出，f1是不能超过某一个阈值的，此处阈值可以取50 Hz，在阈值附近两者的表现达到最好，f1过高或者过低都会对系统整体的稳定性带来不良的影响.

图11 随着 f1的变化，比例系数k的分岔点位置 (a)f1=20 Hz;(b)f1=160 Hz;(c)f1=480 Hz

表1 随着 f1的变化，比例系数k的分岔点位置

表2 随着 f1的变化，负载电流时域波形每周期尖峰的数量

5 结论

扩频调制下的单相H桥正弦逆变器在实际工程中得到了广泛的应用，以往总是采用线性化的方式来分析此系统，忽略了其非线性特性，对其非线性动力学特性至今都没有作深入的研究.本文对扩频调制下的单相H桥正弦逆变器的非线性特性进行了详细的分析：建立了扩频调制下的离散映射模型，采用了折叠图、时域图、分岔图综合对比的方法进行了分析，通过与非扩频下的特征量的比较，得出了在扩频调制下的单相H桥正弦逆变器更加容易进入非线性区域，存在更加丰富的混沌动力学特性.并且得出了周期扩频的频率使系统产生初始分岔点的精确位置.通过对其进行非线性分析，对应用扩频方式下的单相逆变器具有重要的指导性意义.

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镜头一闪，出现了一个躺在病床上，满脸都是绷带的人，“凶手对王大明进行了惨无人性的人身伤害，受害人在被打昏的情况下被割掉了鼻子、耳朵、生殖器……”我终于知道，那天晚上刘伟递给黑裙子女孩子的那个包里包的是什么了。

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