弱磁场下三阱光学超晶格中自旋为1的超冷原子特性研究*

秦帅锋 郑公平 马骁 李海燕 童晶晶 杨博

(河南师范大学物理系，新乡 453007)

(2013年1月6日收到;2013年1月30日收到修改稿)

1 引言

1995年玻色-爱因斯坦凝聚的实验实现使得超冷原子成为物理学一个非常活跃的研究领域.21世纪初期，超冷原子在超流体和Mott-绝缘体之间的量子相变实验[1]使得光晶格成为物理学许多研究方向的超低温实验室[2].2007年，美国国家标准局的物理学家进一步实现了双阱光学超晶格[3,4].在双阱光晶格中，每个双阱单元中的情况是完全一样的，在实验中同时产生了许多完全相同的事例，因此在一次测量过程中就可以得到所观测量的量子力学期待值[5].基于这个新的试验方法，实现了许多新奇的现象.Cheinet等通过调节偏压势[6]，观测到双阱中无自旋原子的粒子数台阶分布，这使得他们可以控制任意某个阱中的原子数.Trotzky等则在对称的双阱中通过控制两个等效自旋为1/2的原子生成了自旋单态与自旋三重态的价键态[7]，这对于量子磁性的实验研究非常有意义.以往的文献讨论光学超晶格中自旋为1的原子的比较少.最近，Wagner等研究了双阱超晶格中自旋为1的原子数的台阶分布[8].与标量原子和自旋为1/2的原子相比，自旋为1的原子之间具有更丰富的自旋相互作用[9,10].本文中我们将推广双阱光学超晶格，提出实现三阱光学超晶格的理论方案，并研究弱磁场下对称三阱光学超晶格中自旋为1的原子系统的量子多体基态和相图.由于磁场很弱及三阱之间的关联，存在许多奇异的自旋态.这些量子态可以通过调节外磁场和光势垒的高度非常简便而精确地控制.

2 模型

2.1 三阱光学超晶格

原子感受到的光晶格势场是由两束相对传播的激光束形成的驻波，数学上可描述为

其中V为势垒高度，λ为晶格周期.本文中考虑一维情况，推广到三维是直接的.在光晶格势场的基础上再叠加一个半周期的光晶格势，

调节光场强度至4V1＞V2，便可得到对称双阱光晶格.若要产生非对称双阱光晶格，则需要再加一个磁场梯度.我们发现：如果三个周期比为1：2：3的光晶格势叠加，

便可形成三阱光晶格.调节至V3=3V1,V2=2V1，三阱光晶格是对称的，如图1所示.与双阱光晶格不同的是，仅仅调节三个势垒的相对强度，便可实现非对称三阱光晶格.按照相同的思路，叠加四个周期比为 1：2：3：4 的光晶格势，还可以实现四阱光晶格.依次类推.

图1 一维对称三阱光学超晶格

2.2 三格点Bose-Hubbard模型

考虑超冷的自旋为1的原子囚禁在如图1所示的一维对称三阱光学超晶格里，每个三阱单元中囚禁三个原子.由于原子在低势垒之间的跃迁矩阵元远大于高势垒之间的，因此可以将此系统约化为三格点模型，等效的Bose-Hubbard哈密顿量为[8,11,12]

其中

假设外磁场沿着z轴方向，同时也被取为量子化轴方向.考虑弱磁场[14]，参数 p表征线性塞曼能量.约化后的二次塞曼能量q项平移了q，其中是系统的总粒子数算符.采用线性极化微波的方法，参数q的大小和正负已经能够独立地调节[15,16].参数U0和U2分别是不依赖和依赖自旋的相互作用常数[17].对于本文考虑的排斥相互作用原子，U0＞0.如果U2＞0或者U2＜0，则自旋相互作用分别是反铁磁性的，例如23Na，或者铁磁性的，例如87Rb.对于实验上常用的原子，|U2|≪U0.

3 基态相图

在图2中，分别给出了反铁磁性和铁磁性原子对应的基态相图.

图中Mα表示此态沿量子化轴方向的总自旋分量为α.如图所示，二者的相图很不相同.反铁磁性原子对应的相图中只可能有M3,M1,M0,M-1,M-3，而铁磁性原子的相图中还可能有M±2.在负的q区域，铁磁性原子的相图中只有完全极化态M±3.

图2 基态相图(紫、黑、绿、红、蓝、浅蓝、黄色区域分别代表基态M3,M2,M1,M0,M-1,M-2,M-3.参数 p，q均以23Na原子间的U2为单位.铁磁性原子间依赖自旋的相互作用参数取为-U2.U0=25U2，t=5U2)(a)反铁磁性23Na原子;(b)铁磁性原子

这些量子态可以通过调节隧穿参数t和二次塞曼能量q精确地控制.完全极化态M±3的形式为

其中右矢态中的三个数字依次表示自旋量子数、磁量子数和原子数目，下标标记格点位置.由于格点位置是可以区分的，因此通过交换下标，另外有五个的本征态与|2,±2;2〉1|1,±1;1〉2|0,0;0〉3是简并的，在基态中它们是等权叠加的.为了简化符号，只写出其中一个.当然，|1,±1;1〉1|1,±1;1〉2|1,±1;1〉3态是唯一的，因为全同量子态不可区分.

基态M±2的形式为

其中A2,B2及态M±3中的A3,B3均随着隧穿参数t的增大而增大.态M±3和M±2都不受外磁场控制，包括M±2态中的参数β2.但是态M±1为

即M±1与M0同时受隧穿参数t和二次塞曼能量q的控制.下面详细分析自旋态M0，态M±1有类似的行为.

首先，在图3给出(10)式中参数B对隧穿参数t的依赖关系.可以看出：无论铁磁性、反铁磁性还是中性原子，B都随着t的减小而减小.参数A有类似的行为.这是因为|U2|≪U0，而U0项希望原子在三个格点上均匀分布.随着t的减小，U0项的影响增大，在弱隧穿极限下，U0项起决定作用，A，B都将趋于零.

(10)式中参数ζ，β，γ，δ更易受二次塞曼能量q的调控.在图4中，给出了ζ对q的依赖关系.可以看出：无论铁磁性还是反铁磁性原子，|ζ|都随着q的增大而减小.这是因为哈密顿量(3)式中正的q项希望各个格点上的磁量子数为零.随着q的增大，磁量子数非零的态减少.对于足够强的二次塞曼能量，铁磁性或反铁磁性的自旋为1的原子都趋近于中性原子.出于同样的原因，参数β有类似的行为.

图3 基态(10)式中参数B对隧穿参数t的依赖关系(点状线、实线和虚实线分别对应反铁磁性、自旋为0的和铁磁性原子.q=0.5U2，其他参数同图2)

图4 基态(10)式中ζ对二次塞曼能量q的依赖关系(点状线、实线和虚实线分别对应反铁磁性、自旋为0的和铁磁性原子.t=2.5U2，其他参数同图2)

图5给出了δ对q的依赖关系.对于反铁磁性原子，自旋相互作用U2项希望基态下总自旋量子数Stotal尽可能的小，而铁磁性原子的选择正好相反.正的q项希望各个格点上的磁量子数为零，但它仅仅是希望磁量子数为零，不管Stotal是大还是小.随着q的增大，自旋相互作用U2项的作用被弱化，因此对于铁磁性原子δ会减小，而对于反铁磁性原子δ将增大.参数γ有类似的行为.

图5 基态(10)式中δ对二次塞曼能量q的依赖关系(点状线、实线和虚实线分别对应反铁磁性、自旋为0的和铁磁性原子.参数同图4)

4 结论

本文从理论上研究了弱磁场下对称三阱光学超晶格中自旋为1的超冷原子系统的基态.三阱光学超晶格具有与双阱光学超晶格相同的优点：在实验中可以同时产生许多完全相同的事例.同时相对于双阱光学超晶格中的两格点关联，三格点关联具有更丰富的物理内容.并且由于这些量子自旋态可以通过调节外磁场和光势垒的高度非常简便而精确地控制，因此适合用来进一步研究自旋纠缠[8,19-21].

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谷氨酸钠是味精的主要成分及增味成分；I+G又称为核苷酸二钠，是由5'-肌苷酸二钠(IMP)和5'-鸟苷酸二钠(GMP)按1∶1的比例混合而成，是一种新型的核苷酸类食品增味剂。赵燕华等[24]研究表明该类型增味剂复合使用可增加肉丸的肉质感且稳定性好，能保持42 h以上不产生不良气味。王向阳等[25]研究发现，谷氨酸钠和I+G的耐热性和耐酸性较弱，因此在肉制品加工过程中要避免高温及酸性环境。

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