脉冲多普勒雷达中补零FFT与折叠FFT的性能比较

陈希信 孙 俊 龙伟军

（南京电子技术研究所，南京，210039）

引 言

在脉冲多普勒雷达中，通常利用快速傅里叶变换（Fast Fourier transform，FFT）实现目标回波信号的相干积累，但是回波脉冲数经常不是2的整数幂，因此需要进行尾部补零或者脉冲折叠，使得FFT 的点数为2的整数幂［1－6］。文献［2］指出两种FFT的多普勒谱相同，但只是对谱的采样间隔不同。本文继续研究脉冲多普勒雷达中两种FFT的关系，比较两者的性能差别，希望对工程实践提供理论指导。

1 两种FFT的关系

设运动目标回波为

式中：fd为目标多普勒频率；Tr为脉冲重复周期；k为相干脉冲数，k＝0，1，…，K－1。

雷达接收信号为

式中：n（k）为接收机产生的零均值高斯白噪声。

对接收信号加窗、补零得到

式中：w（k）为窗函数；M为2的整数幂，满足M＜K＜2M。式（3）的补零FFT为

式（4）和（5）的FFT计算了信号的频谱，若将FFT的基看作为滤波器系数，它们又分别计算了目标信号通过各个滤波器后的输出。

式（6）表明：（1）两种FFT给出了相同的信号频谱，只是折叠FFT是补零FFT的等间隔抽取，因此信号的多普勒分辨率不变化；（2）抽取补零FFT的偶数号滤波器（即偶数号频点）就得到了折叠FFT，因此当目标多普勒位于补零FFT的偶数号滤波器的通带上时，两种FFT都实现了相干积累，输出的SNR相同，当目标多普勒位于补零FFT的奇数号滤波器的通带上时仅补零FFT实现相干积累，输出较高的SNR，而折叠FFT则存在较大的跨越损失；（3）补零FFT输出的噪声点数是折叠FFT的2倍，在统计意义上虚警数量会增加1倍，为使两者的虚警数相同，要求补零FFT的检测门限高于折叠FFT的检测门限。

这里给出一个仿真实例。仿真条件：K＝80，M＝64，Tr＝1ms，fd＝1／（128·Tr），w（k）取为70 dB切比雪夫窗。采用补零FFT和折叠FFT计算目标信号多普勒谱与噪声谱，分别如图1和图2所示。由图1和图2可见，目标信号、噪声的折叠FFT是补零FFT的偶数号滤波器的抽取，两种FFT的多普勒分辨率相同。

图1 目标信号谱

图2 噪声谱

2 跨越损失和门限差

补零FFT和折叠FFT之间的抽取关系使得折叠FFT存在较大的跨越损失，同时要求补零FFT的检测门限更高一些，本节对这两个问题进行分析计算。

2.1 跨越损失

雷达信号慢时间域FFT的失配包括幅度、相位两个方面，幅度失配即加窗，相位失配即目标多普勒与FFT滤波器组中各个滤波器的中心频率不相同。本文讨论的跨越损失源自相位失配。

设β＝2MTrfd为归一化多普勒频率，则第m个FFT滤波器的SNR增益为［7］

式（7）表明FFT增益与目标多普勒、相干脉冲数、FFT点数、窗函数形式有关，而且各个滤波器的增益相同。当采用矩形窗、β＝m时，取得最大增益K。以K为参考值，考察M＜K＜2M，FFT点数取2M时补零FFT和折叠FFT的跨越损失。

假设目标多普勒均匀分布于［－1／2Tr，1／2Tr］上，仿真参数同图1，图3和图4分别给出了矩形窗、70dB切比雪夫窗下两种FFT的跨越损失。

由图3和图4可见：（1）在各种窗函数下，补零FFT较折叠FFT的跨越损失小；（2）矩形窗下两种FFT的损失的差别较大（平均损失1～2.5dB，最大损失3～40dB），采用70dB切比雪夫窗时两者的差别缩小了（平均损失0.3～1dB，最大损失1～4dB）；（3）在FFT中，增加FFT点数，即增加滤波器数量，可减小跨越损失。

图3 采用矩形窗时SNR损失

图4 采用70dB切比雪夫窗时SNR损失

2.2 门限差

在雷达系统设计中，虚警概率是一个重要指标，而虚警概率与检测门限是一一对应关系。如前所述，补零FFT输出的噪声点数是折叠FFT的2倍，若虚警概率相同，则前者的虚警数是后者的2倍。为了使两者的虚警数相同，要求补零FFT的虚警概率是折叠FFT的1／2，因此应提高补零FFT的检测门限。由于提高门限会降低检测概率，因此两个门限差别有多大是一个重要问题。

假设噪声为零均值高斯，其幅度服从瑞利分布，折叠FFT和补零FFT的归一化门限分别为z1，z2，则两者的虚警概率分别为［8］

式（10）表明折叠FFT和补零FFT的门限差与虚警概率有关，图5给出了式（10）的关系式，可见只要补零FFT的检测门限比折叠FFT的高0.16～0.32dB，则两者检测出的虚警数相同。由于提高门限较小，因此对补零FFT的检测概率影响不大。

图5 门限差与虚警概率的关系曲线

3 结束语

脉冲多普勒雷达中经常遇到相干脉冲数不是2的整数幂的情况，可以采用补零FFT或者折叠FFT，这取决于系统运算能力与SNR改善性能之间的折中。补零FFT的点数是折叠FFT的2倍，因此运算量不难比较。本文重点考察了两者的SNR性能，推导了补零FFT与折叠FFT的解析关系，发现抽取前者的偶数号频点即得到后者，这种抽取关系使得折叠FFT存在更大跨越损失，而为了减少虚警数要求补零FFT的检测门限高一些。文中在给定参数下对这些量进行了定量计算，计算结果和方法对工程实践具有一定的参考价值。

［1］ 吴顺君，梅晓春.雷达信号处理与数据处理技术［M］.北京：电子工业出版社，2008：135－139.Wu Shunjun，Mei Xiaochun.Radar signal processing and data processing technique［M］.Beijing：Publishing House of Electronics Industry，2008：135－139.

［2］ Richards M A.Fundamentals of radar signal processing［M］.New York：The McGraw－Hill Companies Inc，2005：95－97.

［3］ Rockmore D N.The FFT：an algorithm the whole family can use［J］.Computing in Science and Engineering，2000，2（1）：60－64.

［4］ Aamir K M，Maud M A，Loan A.On Cooley－Tukey FFT method for zero padded signals［C］／／Proc of the IEEE Symp on Emerging Technologies.Adelaide，Australia：IEEE Press，2005：41－45.

［5］ Rapuano S，Harris F J.An introduction to FFT and time domain windows［J］.IEEE Instrumentation ＆Measurement Magazine，2007，10（6）：32－44.

［6］ 纪元法，王婧，孙希延，等.基于批处理的改进FFT微弱信号捕获算法及其实现［J］.数据采集与处理，2013，28（1）：12－16.Ji Yuanfa，Wang Jing，Sun Xiyan，et al.Implementation of improved FFT weak signal acquisition algorithm based on batch method［J］.Journal of Data Acquisition and Processing，2013，28（1）：12－16.

［7］ 尹成斌，陈希信.MTI级联 MTD的信噪比增益［J］.现代雷达，2012，34（5）：23－25.Yin Chengbin，Chen Xixin.SNR gain of radar signal by MTI ＆ MTD［J］.Modern Radar，2012，34（5）：23－25.

［8］ 张光义.相控阵雷达系统［M］.北京：国防工业出版社，2006：339－341.Zhang Guangyi.Phased array radar system［M］.Beijing：National Defence Industry Publishing House，2006：339－341.