有关P-半单BCI-代数直积的一些结论

刘军

（江汉大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056）

有关P-半单BCI-代数直积的一些结论

刘军

（江汉大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056）

利用P-半单BCI-代数的性质，讨论了P-半单BCI-代数是它的子代数的直积的条件。

P-半单BCI-代数；直积；周期

1 预备知识

定义1［1］设 X是一个带有常元0的集合，*是 X上的一个二元运算，则＜X，*，0＞是一个P-半单BCI-代数，当且仅当∀x，y，z∈X，

1）(x*y)*(x*z)=z*y，

2）x*0=x。

引理1［1］设＜X，*，0＞是BCI-代数，∀x，y，z，u∈X，下列条件等价：

1）X是P-半单的；

2）x*(x*y)=y；

3）0*(x*y)=y*x；

4）x*(y*z)=z*(y*x)；

5）(x*y)*(x*z)=z*y；

6）x*(y*z)=(z*y)*(0*x)；

7）(x*y)*(z*u)=(x*z)*(y*u)；

8）(x*y)*(z*u)=(u*y)*(z*x)。

定义2［1］设 X是一个BCI-代数，x∈X，如果存在k∈N+，使得0*xk=0，则称x是有限周期的，记 k=|x|叫做x的周期。

定义3［2］设 X是一个BCI-代数，x∈X，称包含x的最小子代数为X的一个循环子代数，记为。

引理2［2］设 X是一个P-半单BCI-代数，∀x∈X，则={xn:n∈Z}。

定义 4［3］设 ＜X1，*1，01＞和 ＜X2，*2，02＞是二个BCI-代数，X=X1×X2={(x1，x2):x1∈X1，x2∈X2}。定义运算 (x1，x2)*(x1′，x2′)=(x1*1x1′，x2*2x2′)，0=＜01，02＞，则＜X，*，0＞是一个BCI-代数，称X是X1和X2的直积，记X=X1⊗X2。

2 P-半单BCI-代数直积的一些结论

定理1 设P-半单BCI-代数＜X，*，0＞有两个子代数 ＜X1，*，0＞和 ＜X2，*，0＞，使 X= X1*X2，且 X1∩X2={0}，则 X≅X1⊗X2。

证明 定义φ：X1⊗X2→X，φ(x1，x2)=x1*x2，

若 x1*x2=x1′*x2′，则(x1*x2)*(x1′*x2′)=0，即 (x1*x1′)*(x2*x2′)=0，且 (x1′*x2′)*(x1*x2)= 0，即 (x2*x2′)*(x1*x1′)=0，于是 x1*x1′=x2* x2′∈X1∩X2，则x1*x1′=x2*x2′=0。

同理x1′*x1=x2′*x2=0，即x1=x1′，x2=x2′，也即φ为单射。

又∀x∈X，由 X=X1*X2，设x=x1*x2，则φ(x1，x2)=x1*x2=x，即φ为满射。

而φ((x1，x2)*(x1′，x2′))=φ(x1*x1′，x2*x2′)= (x1*x1′)*(x2*x2′)=(x1*x2)*(x1′*x2′)=φ(x1，x2)* φ(x1′，x2′)。

于是

φ∈Hom(X1⊗X2，X)，

故

X≅X1⊗X2。

定理2 设＜X，*，0＞是一个有限P-半单BCI-代数，则 X的每一个元素的周期都整除 X的阶。

证明 ∀x∈X，考虑序列 x1，x2，…，xm，…，因为 X的阶有限，则∃m，l∈N+，使得 xl=xm。不妨设 l＞m ，于是 0=xl*xm=xm+(l-m)*xm= (xm*(0*xl-m))*xm=(xm*xm)*(0*xl-m)=0*(0* xl-m)=xl-m。

则

0*xl-m=0。

定理3 设＜X，*，0＞是一个P-半单BCI-代数，且 | X |为奇数，α∈Aut(X)，且 α2=1X。令X1={x∈X:α(x)=x}，X2={x∈X:α(x)=0*x}，则 X=X1⊗X2。

证明 ∀x∈X，x*α(x)∈X，于是α(x*α(x))= α(x)*α2(x)=α(x)*x=0*(x*α(x))，则 x*α(x)∈X2。又 x*(0*α(x))∈X ，且 α(x*(0*α(x))= α(x)*(0*α2(x))=α(x)*(0*x)=x*(0*α(x))，则x*(0*α(x))∈X1。

又 (x*(0*α(x)))*(x*α(x))=(x*(x*α(x)))* (0*α(x))=(α(x)*(0*α(x)))=α(x)2，所以 α(x)2∈X1*X2。又α(x)∈X，且| X |为奇数，记| α(x)|=n为奇数，设 n=2k+1，于是 α(x)=α(x)n-2k= α(x)n*α(x)-2k=0*(α(x)-2)k=0*(0*α(x)2)k，则α(x)∈X1*X2，即 X=X1*X2。

又 ∀x∈X1∩X2，有 α(x)=x且 α(x)=0*x，所以x=0*x，于是x*(0*x)=0，即x2=0。又|X |为奇数，则 x=0，即 X1∩X2={0}，故 X= X1⊗X2。

定理4 设＜X，*，0＞是一个P-半单BCI-代数，f∈hom(X，X)，若 f2=f，则 X=Im f⊗Ker f。

证明 ∀x∈X ， f(x*f(x))=f(x)*f2(x)=f(x)*f(x)=0，所 以 x*f(x)∈Ker f，于 是0*(x*f(x))∈Ker f。又x=0*(0*x)=(f(x)*f(x))* (0*x)=(x*f(x))*(0*f(x))=f(x)*(0*(x*f(x)))，所以 x∈Im f*Ker f，即 X=Im f*Ker f。又∀x∈Im f∩Ker f，则 x∈Im f且 x∈Ker f。设x=f(x1)，x1∈X，且 f(x)=0，于是 x=f(x1)= f2(x1)=f(x)=0，所以Im f∩Ker f={0}。

故

X=Im f⊗Ker f。

定理5 设 X1，X2是二个P-半单BCI-代数，若 f∈hom(X1，X2)，有 g∈hom(X2，X1)，使 g f∈Aut(X1)，则X2=Im f⊗Ker g。

证明 因为 g f∈Aut(X1)，则∃α∈Aut(X1)，使α(gf)=(αg)f=1X1。又∀x2∈X2，fαg(x2)∈X2，于是αg(x2*fαg(x2))=αg(x2)*(αgf)αg(x2)=αg(x2)* αg(x2)=0，所以 x2*fαg(x2)∈Ker(αg)，则0*(x2* fαg(x2))∈Ker(αg)。

又x2=x2*0=x2*(fαg(x2)*fαg(x2))=fαg(x2)* (fαg(x2)*x2)=(x2*fαg(x2))*(0*fαg(x2))=fαg(x2)* (0*(x2*fαg(x2)))，则 x2∈Im f*Ker(αg)，即 X2= Im f*Ker(αg)。

又 ∀x∈Im f∩Ker(αg)，则 x∈Im f且 x∈Ker(αg)，于是∃x1∈X1，使x=f(x1)。

又 x1=(αg)f(x1)=αg(x)=0 ，即 x=f(x1)= f(0)=0，则 Im f∩Ker(αg)={0}，于 是 X2= Im f⊗Ker(αg)。又∀x2∈Ker g，则g(x2)=0，有αg(x2)=0，于是 x2∈Ker(αg)。又∀x2∈Ker(αg)，则αg(x2)=0，又α∈Aut(X1)，则∃α-1∈Aut(X1)，使 α-1α=1，于是 g(x2)=α-1αg(x2)=α-1(0)=0，则x2∈Ker g，即Ker(αg)=Ker g。

故X2=Im f⊗Ker g。

［1］ 孟杰，刘用麟.BCI-代数引论［M］.西安：陕西科学技术出版社，2001.

［2］ Meng J.Powers of elements and sub-algebras in BCI-algebras［J］.Math Japon，1994，39：437-446.

［3］ 胡庆平.BCI-代数［M］.西安：陕西科学技术出版社，1987.

Conclusions on Direct Product of P-semi-simple BCI-algebra

LIU Jun
（School of Mathematics and Computer Science，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei，China）

The conditions are discussed when P-semi-simple BCI-algebra is its sub-algebra di⁃rect product，using the properties of the P-semi-simple BCI-algebra.

P-semi-simple BCI-algebra；direct product；period

O153.1

：A

：1673-0143（2013）02-0005-02

（责任编辑：强士端）

2013－03－11

刘 军（1959—），男，副教授，研究方向：代数学。