一种求解扩展Bessel方程的边值问题的新方法——相似结构法

廖智健，李顺初

（1.北京大学元培学院，北京100871；2.西华大学应用数学研究所，四川成都610039）

0 引言

利用分离变量法去求解数学物理方程时，常常会遇到如下扩展的Bessel方程的边值问题［1－2］：

式中，A，B，C，D，E，F，G，H，a，b均为已知的实常数，且

文献［3－4］研究了标准型的Bessel方程的边值问题的解的相似结构，文献［5］研究了二阶常系数线性微分方程的边值问题的解的相似结构，文献［6－8］找出了相似结构的应用实例，文献［9－11］初步探讨了解的相似结构的适用范围，文献［12－15］进一步地指出了特殊的Bessel方程的边值问题解的相似结构在石油工程中的应用.从过去的研究中不难看出，边值问题（1）是相关应用的理论基础并具有较好的实用价值.本文通过适当的变量替换，引入引解函数，证实边值问题（1）的解具有相似结构，并提出了求解该类边值问题的一个新方法——相似构造法.

1 预备知识

引理1.1［1］若对边值问题（1）中定解方程作变量替换：

则可化为如下标准的Bessel方程：

式中，

引理1.2 边值问题（1）中定解方程的通解为

式中，C1，C2为任意常数；Jυ（·），Yυ（·）分別为υ阶的第一、第二类Bessel函数.

证明 因为Bessel方程（3）的通解［1，16］为

由变量替换式（2）知

引理1.3 若令

则有

证明 根据Bessel函数的微分性质

可以得到

同理可证式（8）～（10）成立.

引理1.4 若令

则有

这里，φi，j（x，ξ）（i，j＝0，1）为边值问题（1）的引解函数.

证明 根据定义式（11）及引理1.3可直接证得.

2 主要定理及其证明

先讨论边值问题（1）的右边界条件特殊的一种情形，它将是（1）的解的相似结构中的相似核函数.

定理2.1 若边值问题

（参数的限制与式（1）中相同）有唯一解，则其解为

证明 根据引理1.2知，式（15）中定解方程的通解为式（5），则

再由式（15）中的右边界条件［Gy＋Hy′］x＝b＝0知

由于边值问题（15）有唯一解，因而关于C1，C2的线性方程组（17）、（18）的系数行列式Δ≠0，且经计算化简和应用式（12）、式（14），得

求解线性方程组（17）、（18），得

将由式（20）、式（21）确定的C1，C2代入式（5）中，即得边值问题（15）的解：

再应用式（19）、式（11）、式（13），即得式（16）.

定理2.2 若边值问题（1）有唯一解，则其解为

证明 根据引理1.2知，式（1）中定解方程的通解为式（5），则由式（1）中的左边界条件

知

再由式（1）中的右边界条件［Gy＋Hy′］x＝b＝0，得到式（18）.

由边值问题（1）有唯一解知，关于C1，C2的线性方程组（18）、（23）的系数行列式Δ＊≠0，且经计算化简和应用式（12）、式（14），得

求解线性方程组（18）、（23），得

将由式（25）、式（26）确定的C1，C2代入式（5）中，即得边值问题（1）的解：

再应用式（11）、式（13）、式（24），并经整理后，即得式（22）.

由定理2.1和定理2.2，经观察或简易地运算，易得如下在实际应用中的几个有用的推论.

推论2.1 在边值问题（1）或（15）中，若右边界条件为y（b）＝0（即H＝0，G≠0），则相应的相似核函数

推论2.2 在边值问题（1）或（15）中，若右边界条件为y′（b）＝0（即G＝0，H≠0），则相应的相似核函数

推论2.3 边值问题（1）的解式（22）的结构中的第一个连分式有如下性质：

此式反映了解在左边界处的本质性的特征，在实际应用中起着十分重要的作用.

3 结论

（Ⅰ）由定理2.2知，解式（22）具有式相似性（称为解的相似结构式），即具有连分式乘积的形式并包含有一个相似核函数Φ（x），具有数的表现特征；且相似结构式中的系数仅与左边界条件有关，而与右边界条件及定解方程无关.

（Ⅱ）由定理2.1知，相似核函数Φ（x）是左边界为第二类边界条件下的解.相对于边值问题（1）来说，Φ（x）与左边界条件中的系数无关，仅与右边界条件及定解方程有关，是易于求得的.它表现为是相应边值问题的一种基础解.

（Ⅲ）由引理1.4及定理2.1知，只需由式（11）生成φ（x，ξ）（＝φ0，0（x，ξ）），即可求得相似核函数Φ（x）（它由φ（x，ξ）及关于第一、第二个变量分別求导后代入相应的值和右边界条件的系数而生成），而不必去求解边值问题（15）.

（Ⅳ）以上特征表明：只要先由φ（x，ξ）生成相似核函数Φ（x），再由相似结构式（22）进行组装，即可得到边值问题（1）的解.依此步骤获得边值问题的方法称为相似构造法.这无疑是解决微分方程的复杂边值问题的一个新思想和新方法.该方法有利于进一步地分析解的内在规律、解决相应的应用问题、方便编制相应的分析软件，它是微分方程理论的创新发展.

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