环F2+uF2上线性码关于Rosenbloom-Tsfasman距离的MacWilliams恒等式

芮义鹤，朱士信

(1.浙江工商大学统计与数学学院，浙江杭州 310018；2.合肥工业大学数学学院，安徽合肥 230009)

0 引言

1 基本概念

环F2+uF2是指剩余类环F2[u]/(u2)，其元素分别记为{0,1,u,1+u}.将u视为环Z4上的元素2，1+u视为环Z4上的元素3，则其乘法与环Z4上的乘法一致.为方便，记R=F2+uF2.环R上的元素运算如下所示：

*01u1+u00000101u1+uu0u0u1+u01+uu1

称Rn的一个R子模C是码长为n的环R上线性码，本文中的码均为环R上码，C中的元素称为码字.

设a=(a0,a1,…,an-1)∈Rn，定义a的ρ重量为

∀x,y∈Rn，定义x,y的ρ距离为

ρ(x,y)=wN(x-y).

称wr(C)=|{x∈C|wN(x)=r}|，0≤r≤n，为码C的ρ重量谱，定义相应的ρ重量计数器为

设a=(a0,a1,…,an-1),b=(b0,b1,…,bn-1)∈Rn，定义a,b的内积为

环R上线性码C的对偶码定义为

C⊥={u∈Rn|〈u,v〉=0,∀v∈C}.

显然C⊥也是环R上长为n的线性码.

设ψ:Rn→R[x]/(xn)，即

则映射ψ是环R上码C到ψ(C)的R模同构.p(x)∈R[x]的ρ重量定义为degp(x)+1，即

ρ(p(x))=degp(x)+1.

设p(x)=p0+p1x+…+pn-1xn-1∈R[x]/(xn)，p(x)的第k个系数记ck(p(x))=pk，其中,0≤k≤n-1.于是定义p(x),q(x)的内积为

〈p(x),q(x)〉=cn-1(p(x)q(x)).

a(a∈R)的Hamming重量定义为

设Y=(y1,y2,…,yn)，定义码C的完全ρ重量计数器为

2 主要结论

定义2.2设Y=(y1,y2,…,yn)，定义环R上码C的Lee完全ρ重量计数器为

证明当H={0}时，

□

引理2.2设C是环R上的一个线性码，p(x),q(x)∈R[x]/(xn)，则

证明①若q(x)∈C⊥，则

②若q(x)∉C⊥，则存在p(x)∈C使得〈p(x),q(x)〉≠0.

设τq:C→R,p(x)|→〈p(x),q(x)〉，易知该变换为群同态，而且Im(τq)≠{0}是R的一个子群.所以C/ker(τq)≅Im(τq).

由引理2.1,

□

引理2.3设θ是R中固定的元素，p(x)=p0+p1x+…+pn-1xn-1∈R[x]/(xn)，则有

(1+y)2-wL(pn-1-i)(1-y)wL(pn-1-i).

② 〈p(x),axi〉=cn-1(p(x)(axi))=pn-1-ia,

由①得

□

引理2.4设

f:R[x]/(xn)→C[y1,y2,…,yn],

则

其中,

证明设p(x)=p0+p1x+…+pn-1xn-1,q(x)=q0+q1x+…+qn-1xn-1,

由引理2.2得

所以，

□

定理2.1设C是环R上线性码，则码C的对偶码C⊥的Lee完全ρ重量计数器为

其中,p(x)=p0+p1x+…+pn-1xn-1,q(x)=q0+q1x+…+qn-1xn-1.

证明在引理2.4中取

则有

由引理2.3,

所以,

再由引理2.4可得

□

3 结论

References)

[1] MacWilliams F J，Sloane N J A.The Theory of Error Correcting Codes[M].Amsterdam:North-Holland,1977.

[2] Wan Z X.Quaternary Codes [M].Singapore:World Scientific,1997.

[3] Zhu Shixin.A symmetrized Macwilliams identity ofZk-linear code[J].Journal of Electronics & Information Technology,2003，25(7)：901-906.

朱士信.Zk线性码的对称形式的McWilliams恒等式[J].电子与信息学报，2003，25(7)：901-906.

[4] Yu Haifeng,Zhu Shixin.MacWilliams identities of linear codes and their dual codes overF2+uF2[J].Journal of University of Science and Technology of China,2006，36(12):1 285-1 288.

余海峰,朱士信.环F2+uF2上线性码及其对偶码的McWilliams恒等式[J].中国科学技术大学学报，2006，36(12):1 285-1 288.

[5] Rosenbloom M Y,Tsfasman M A.Codes for them-metric[J].Problems of Information Transmission,1997,33(1):45-52.

[6] Ozen M,Siap I.Liner codes over with respect to the Rosenbloom-Tsfasman metric[J].Designs,Codes and Cryptography,2006,38(1):17-29.

[7] Ozen M,Siap I.Codes over Galois rings with respect to the Rosenbloom-Tsfasman metric[J].Journal of the Franklin Institute,2007,344(5):790-799.

[8] Zhu Shixin,Xu Heqian,Shi Minjia.MacWilliams identities of linear codes over ringZ4with respect to the RT metric[J].Acta Electronica Sinica,2009，37(5)：1 115-1 118.

朱士信，许和乾，施敏加.环Z4线性码关于RT距离的McWilliams恒等式[J].电子学报，2009，37(5)：1 115-1 118.