以实际问题为背景的线性规划问题的求解

☉江苏省靖江市第一高级中学 侯进杰

以实际问题为背景的线性规划问题的求解

☉江苏省靖江市第一高级中学 侯进杰

近几年的新课程试卷中经常出现运用线性规划的思想处理实际问题的考查，通过对全国各地的高考模拟试题和真题研究分析发现，此类问题主要与不等式相结合，侧重于基础知识、基本技能、基本方法、运算能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决实际问题能力的考查；本文笔者通过对两道典型例题的解析，探析如何将复杂的、繁琐的实际问题转化成简单线性规划问题进行求解.

高中数学中利用线性规划处理实际问题时，通常涉及如下两种类型：

一、给定任务下，安排最佳方案达到消耗资源最小

例题1 儿童的午餐和晚餐关系到儿童身心健康问题，某小学餐厅中一个单位的午餐含有碳水化合物、蛋白质和维生素分别为12个单位、6个单位和6个单位；晚餐中含有碳水化合物、蛋白质和维生素C分别为8个单位、6个单位和10个单位；午餐和晚餐中至少含有碳水化合物、蛋白质和维生素C分别为64个单位、42个单位和54个单位才能满足儿童正常成长的营养需要.一个单位午餐为2.5元，一单位晚餐为4元；求：儿童预定多少单位午餐和晚餐在所用费最节省的情况下满足营养要求.

思维引导：本题中所涉及的实际问题的处理，关键是通过审题弄清题目中涉及的各量之间的联系和区别，准确找出线性约束条件，列出目标函数，运用数形结合的思想处理这类问题.

解析过程：设预定x单位的午餐，y个单位的晚餐，总费用z元，则z=2.5x+4y.

精要点评：解线性规划实际问题时，首先设出变量，找出变量间的关系即约束条件，然后确定目标函数并画出可行域最终求得最优解并作答；线性规划思想处理实际问题主要涉及类型：①任务安排

问题；②配料问题；③落料问题；④布局问题；⑤库存问题.

二、资源总量一定的情况下，精打细算获取最优方案实现最大效益

例题2 甲、乙两个电视台为某公司做总时间和费用不超过300分钟和9万元的广告宣传，甲电视台收费500元/分钟，乙电视台收费200元/分钟；公司因甲电视台的广告宣传带来收益0.3万元/分钟，乙电视台的广告宣传带来收益0.2万元/分钟；若要使该公司的收益达到最大，甲乙电视台的为公司的广告宣传将如何分配？公司获得最大收益的具体数值是多少？

思维引导：本题解题的关键是准确画出可行域的基础上列出目标函数，在可行域内解出目标函数最优解；这正体现了将数学模型的解转化为实际问题的解.

解析过程：假设x分钟，y分钟分别为甲、乙电视台做广告宣传的时间，收益一共z元；根据题意得：

精要点评：（1）要能抓住题设中的核心条件，找出约束条件，建立目标函数，将实际问题转化为数学问题，用数形结合的方法求解；（2）能准确利用目标函数的几何意义寻找最优解，最优解通常在可行域的各项顶点处取得，在实际问题中要注意变量的实际意义是否为整数，注意调优方法的运用.

总之，利用线性规划解决实际问题一般经过：数学模型的建立、求解和应用；但是有时候根据实际问题的需要，在“模型建立”之前需要作出“模型假设”，而在“模型求解”之后需要作出“模型分析”和“模型检验”；解决实际问题的关键在于正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言进而建立数学模型，这就需要我们一线的高中数学老师在平时的课堂教学中注重将实际问题转化成数学模型方法的训练和能力的培养，本文中两个范例的解答和分析过程正体现了读者在处理相关数学问题时所要注意之处，真正体会如何利用线性规划的思想处理实际问题的精妙之处，从而大大优化高中数学课堂教学.