改进的梯形公式及其代数精度

杨少华

(1. 阜阳师范学院数学与计算科学学院，安徽阜阳236037；2. 辽宁大学经济学院，辽宁沈阳110036)

梯形公式是进行数值积分最为基础的公式之一，在解决一些数值积分的问题时起到不可替代的作用。因此，提高梯形公式在数值积分过程中的准确性成为研究的重点。 将从梯形公式余项“中间点”的渐进性入手，利用其渐进性定理对梯形公式进行校正，以得到代数精度较高的梯形公式[1]。

1 渐进性定理

定理1设函数f(x)在区间[a，x]上连续，在a 的某邻域内直到n + 3 次可导，且f(n+2)(a)≠0，则对于由

确定的ξ 有下式成立。

证明令

反复应用洛必达法则，得

比较(3)式与(4)式，有

定理1 得证。

特别地，当n ＝1 时可以得到以下推论：

推论1设函数f(t)在区间[a，x]上连续，在a 的某邻域内直到4 次可导，且f‴(a)≠0，则对于由(2)式确定的ξ 有下式成立

证明 当n ＝1 时，利用定理1 的结论可得

2 改进后的梯形公式及其代数精度

定理3设函数f(t)在区间[a，x]上连续，在a 的某邻域内直到4 次可导，且f‴(a)≠0，则校正后的梯形公式(5)具有3 次代数精度。

证明 不失一般性，考察a ＝0 的情形。

当f(t) ＝ti，i ＝0，1 时，

下面考察f(t)＝ti，i ＝2，3 时的情形，把f(t)＝t2，a ＝0，x ＝1 代入下式

有

把f(t)＝t2代入(5)式，得

而

把f(t)＝t3代入(5)式，得

而

综上，校正后的梯形公式T′的代数精度为3，而梯形公式T 的代数精度为1[5]，我们可以看到通过校正的梯形公式代数精度提高了2 阶。

[1]Bernard Jacobson. On the Mean Value Theorem for Integrals [J]. Amer Math Monthly，1982(89)：300 - 301.

[2]李毅夫. 梯形公式余项“中间点”的渐进性定理及其应用[J]. 齐齐哈尔大学学报，2005，21(2)：99 - 101.

[3]杨少华，华志强. Cotes 数值求积公式的校正[J]. 数学杂志，2012，32(4)：644 - 648.

[4]杨少华. 辛甫生公式中间点的渐进性定理及其应用[J]. 贵州大学学报：自然科学版，2012，29(6)：13 - 15.

[5]李庆扬，王能超，易大义. 数值分析(第4 版) [M]. 武汉：华中科技大学出版社，2006.