用变分方法计算天文折射

杨步恩

(大连理工大学物理与光电学院 辽宁 大连 116024)

1 引言

在地面上观察恒星的角位置，因为地球大气密度随高度变化的不均匀性，使来自遥远恒星的平行光不断折射而弯曲，且改变了平行光原传播方向．因此，观察者所看到的恒星，不在恒星的原位置，如图1所示.

图1 天文折射

在O点观测恒星，其实是在光线的切线方向上测量恒星像点P′的位置，然而该点已经偏离了恒星的实际位置P．为此，观察者要知道，恒星的视位置确定后，偏离真位置方向的角度ψ，通常称之天文折射(即大气折射)

ψ=θ-θ′

(1)

等于恒星的视天顶角θ′与真天顶角θ相减．此式还可以用视角高α′与真角高α之差来表示

ψ=α′-α

(2)

式中，α与θ是互为余角．

从历史的角度看[1]，大气折射理论，首先由天文学家卡西尼创立．之后，牛顿、布拉得雷、拉普拉斯和贝塞尔等著名科学家，对大气折射都进行过研究．但是，关于大气质量分布都假定：大气是中心对称分层的，每个球面层与地球同心，而且密度均质．因为地球的半径很大，所以靠近地面大气的逐个球面层，在有限范围内可看成互相平行的平面层．

在此大气模型的假设下，天文学家推出大气折射ψ数学式，也是至今普遍应用的公式[2].

根据几何光学的斯耐尔(Snell)折射定理

rnsinθ=(R0+y)nsinθ=R0n0sinθ′

(3)

式中，R0是地球半径，y是球面层离地面高度，n是该球面层折射率，n0是地面空气折射率，而θ′是视天顶角．由此式推出大气折射为

ψ=(n0-1)tanθ′

(4)

其中，n0-1=293×10-6．

然而，该式在天顶角θ′不大于70°时与实际尚能符合．但是，如果恒星接近地平面，且天顶角大于70°时，那么，式(4)的计算值与实际就不大相符了．今天看来，大气折射ψ依然是尚未解决的问题．

为此，该文提出不同于Snell定理的计算法，而是引入Fermat最短时间原理，通过求光曲线的入射点和出射点的切线斜率计算ψ角．对那些视天顶角θ′>70°的恒星，能给出较正确结果．

下面阐明，在大气分层假定的框架下，再引入近地大气状态是等温的，其质量分布遵循重力场的气体分子数的玻尔兹曼分布律．如此，大气密度随高度y变化的表达式是

ρ(y)=ρ0e-z

(5)

2 大气折射率随高度变化的表达式

由光的电磁理论阐明的Lorentz-Lorenz公式，气体折射率与密度的关系是[3]

(6)

(7)

(8)

因此，得地面大气折射率为

n0=1+μ0=1+293×10-6

如果将式(5)代入式(7)，那么，大气折射率随高度y变化的表达式为

n(y)=1+μ0e-z

(9)

k=1.38×10-23J/K，T= 273 K．

3 大气的“光学厚度”

由式(9)知道，当y→∞时，n(∞)=1．此结果，在我们看来，仅有理论意义．因为y的取值已经超出了玻尔兹曼分布律的适用范围(y≪R0)．同时，也与通常估计大气折射率n(y)，在离地面有限高度处取n=1的假设相悖．因此，为了调和二者的不一致．引进大气“光学厚度”物理量．办法是将折射率n(y)展开为幂级数，仅取前面几项之和表示，即

(10)

这里，函数n(y)的边界条件是

(11)

因为y=ym处，大气的n(ym)=1，所以将此条件代入式(10)，得代数方程

(12)

该方程的最高次幂为奇数时，有一正实数根为z1，因此得大气“光学厚度”为

(13)

讨论三种特殊情形：

(1)令p= 0，1．则方程式(12)为

z-1=0

该方程的实数根为z1=1，所以大气光学厚度为

(14)

该厚度ym1与估计等密大气厚度为8 km相吻合．

(2)令p= 0，1，2，3．则方程式(12)为三次方程

z3-3z2+6z-6=0

此方程的正实数根z1≈1.596，所以光学厚度

(15)

(3)令p= 0，1，2，3，4，5．式(12)为五次方程

z5-5z4+20z3-60z2+120z-120=0

该方程的正实数根z1≈2.1806．因此，光学厚度

(16)

观测表明上述三种光学厚度均在大气对流层顶18 km以下．除此，光学厚度以内大气的平均折射率为

(17)

将式(10)代入式(17)，在三种光学厚度情形下，大气折射率的平均值为

(18)

4 大气折射的零级近似ψ0

观测表明大气折射主要是近地大气层的效应，那些天顶距大于75°的恒星，其天文折射为4′至34′，即是有力的证据．

鉴此，根据分层理论，将近地大气按光学性质分为三层.

(1)顶层，在大气光学厚度ym之上，空气折射率近似为1．

(2)中层，在ym至近地之间，空气折射率n(y)随高度y变化，但是1

(3)底层，近地面空气折射率为n0几乎不变．

图2 近地大气的光学分层

根据几何光学的Snell折射定理，光在上述平行平面层大气模型传播，该定理蜕化为形式

n1sini1=n2sini2=n3sini3

对此式作变换

以及

则得

(19)

由此，得到以θ′表示的大气折射零级近似为

ψ0=sin-1(>n0sinθ′)-θ′

(20)

计算表明ψ0的数值与通常表示天文折射ψ公式(4)数值几乎相同，如表1所示．

表1 天文折射ψ0随天顶角的变化[2]

5 重力场等温大气的光曲线函数

此前的讨论，依然是应用大气分层理论来计算天文折射ψ．虽然引入光学分层和光学厚度的概念．但是，这没有超越大气分层的范畴．

欲得到高精度ψ的数值，必须从普遍的原理出发，并且以新的方法去探索达到此目标的途径．几何光学中有一条比Snell折射定理更普遍的原理，即Fermat最短时间原理，以此取代折射定理，可能是实现此目标的捷径．

下面，从此原理出发，推导等温大气光的极值曲线函数．Fermat原理的数学式是

(21)

(22)

该式被积函数为

于是，由式(22)推出微分方程

(23)

光的极值曲线y(x)的边界条件是

y(0)=0y(x1)=y1

(24)

y0(x)=kx

(25)

在此情况下，方程(23)以近似形式表示为

(26)

图3 重力场等温大气光曲线

微分方程式(26)的偏导数为

式中，变量z0=σy0(x)=σkx．

k(>1+μ0e-z0)δy′-(>1+k2)μ0σδy=0

(27)

对式(27)积分，得δy函数为

δy=c0(>1+μ0e-z0)-k′=c0n(>kx)-k′

(28)

y(x)=δy+c1=c0[n(>kx)]-k′+c1

(29)

积分常数c0和c1，由边界条件式(24)来确定

(30)

将式(30)代入式(29)，则得光的极值曲线近似函数为

(31)

为简化计算，引进光学厚度ym，将式(31)的折射率n(y)随高度y递减的形式表达为线性关系

n(y)=n0(1-βy)

(32)

(33)

式中，y=y0(x)=kx，y1=kx1．

(34)

其中，θ′是恒星的视天顶距．

6 参考线斜率k表示的天文折射

前面表述光曲线函数(33)，还可以将折射率(32)直接代入变分原理(21)，应用“参考线法”求积分而得相同的结果．

对光曲线函数式(33)求一阶导数，得切线斜率

(35)

式中，y0(x)=kx，y1=kx1．

于是，由式(35)得，光曲线在O点的切线斜率为

(36)

同理，在A点光线的切线斜率为

(37)

式中，α′是恒星的视角高，而α是其真角高．

为了算出天文折射角ψ1，先计算式(36)和式(37)的两式之差，以及两式之积

tanα′-tanα=

k(k′+1)βy1

(38)

tanα′tanα=

k2[1+(k′+1)βy1]

(39)

将式(38)和式(39)代入三角恒等式，得到

(40)

(41)

此式，即是参考线斜率k表述的天文折射．

7 天文折射ψ的计算

第一步，为检验ψ1计算后的数值是否正确？首先算出ψ0，由式(20)得大气折射零级近似为

ψ0=sin-1(n0sinθ′)-θ′

将θ′=65°代入式中，得ψ0=2′9″.69．

第二步，计算参考线的斜率k：由式(19)和式(34)得

第三步，将k的数值代入式(41)，得

同理，重复上述步骤，计算其他恒星天文折射ψ1在不同光学厚度情况下，ψ1随θ′变化的数值，如表2所示．

表2 天文折射ψ1随天顶角的变化

8 结论

(1)通常表述的天文折射公式为

ψ=(>n0-1)tanθ′

与根据光学分层推出天文折射零级近似

ψ0=sin-1(n0sinθ′)-θ′

是等价的，二者的数值几乎相等．

(2)根据Fermat原理，用“参考线法”推得等温大气光的极值曲线函数为

n(kx)=1+μ0e-z0

(3)用参考线斜率k表示天文折射

(4)大气光学厚度ym的不同，几乎对ψ1没有影响．当θ′>70°时，ψ1才略有偏差．由此看来，大气折射是近地大气效应．除此，表2给出，θ′=88°恒星，其ψ1=34′20″.48与古尔谭给出θ′～90°，ψ=34′40″.9相当接近，也证实了这一点．

参考文献

1 胡宁生.大气折射.中国大百科全书(天文学)，1980(2)：42～43

2 J·C·强生.物理气象学.王鹏飞译.北京：科学出版社，1960.24～27

3 杨步恩.光线在湍流大气中作Brown运动的统计解释.大连理工大学学报，1991(5)：515～520