基于二元高次函数数据拟合的水轮机特性模型分析

雷 恒，李 颖

（1.黄河水利职业技术学院，河南 开封 475004；2.小流域水利河南省高校工程技术研究中心，河南 开封 475004）

0 引言

由于水轮机内部水流运动的复杂性，目前，水轮机输出特性与输入参数之间的具体关系还不能用理论方法进行准确计算，而是通过模型或是原型试验的方法得到。 常规的试验方法是将水轮机模型试验的结果整理成列表数据或绘制成各种特性曲线。但是，在应用计算机辅助设计技术进行水轮机选型设计、优化运行以及对水轮机进行控制时，需要在试验数据的基础上，建立解析形式的表示水轮机输出特性与输入参数之间关系的数学模型。 本文采用二元高次函数建立水轮机特性模型，进行数据拟合及误差分析，并通过实例，对水轮机等效率曲线进行了验证分析。

1 数学模型的建立

1.1 数学原理

设已知反映二元函数z=f（x，y）的数据（xk，yk，zk）（k=1，2，…，P；P 为数据的总数），可用的拟合函数为

式中：cij为拟合系数；m 为y 项的最高次数；n为x 项的最高次数。

当m=n=2 时，拟合函数式展开为

式（2）是一个广义的线性函数，应用最小二乘法可以确定拟合函数中拟合系数的法方程为

分别为：

矩阵B 是一个对称矩阵，所以公式中只列出了其上三角的元素。

将已知数据（xk，yk，zk）（k=1，2，…，P）代入公式（3）中，使用解线性代数方程组的数值解法，可以求出列向量C 中各元素，即求出了拟合系数cij（i、j=0，1，2）。

对于任意的m、n 次二元多项式拟合函数，数据拟合过程与上述相同。

1.2 水轮机模型描述

在水轮机特性曲线的几何形状较简单的情况下，可采用二元高次函数数据拟合的方法，直接对反映水轮机特性的数据进行拟合。 如水轮机的能量特性η=f(Q'1,n'1)，可采用拟合函数

式中：Q'1、n'1从相应的水轮机模型综合特性曲线上采集；拟合系数cij按上述方法求出。

2 实例分析

2.1 综合特性曲线

HL120-LJ-38 水轮机模型综合特性曲线如图1所示。 从相应的等效率特性曲线上随机采集52 个数据（Q'1、n'1、η），如表1 所示。

2.2 模型建立

取m=n=4，构造拟合函数式（4），求出25 个拟合系数，如表2 所示。

图1 HL120-LJ-38 水轮机模型综合特性曲线Fig.1 Synthetic feature curve of HL120-LJ-38 hydraulic turbine model

用相应的拟合函数计算出拟合值，将拟合值及拟合误差列表（如表1 所示）。从表中数据可以看出，拟合函数具有很高的拟合精度，可以作为描述HL120-LJ-38 水轮机能量特性的数学模型，用于引用该水轮机特性的各种场合，同时还可以方便地计算出在水电站水力过渡过程中所需要的各种传递函数值。

表1 HL120-LJ-38 水轮机能量特性的原始数据Table 1 Original data of HL120-LJ-38 hydraulic turbine energy feature

表2 拟合系数cijTable 2 Fitting coefficient cij

3 结语

在水轮机特性曲线不是特别复杂的情况下，采用二元高次函数进行数据拟合，用于建立、分析水轮机特性模型，不失为一种有效的方法。

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